Cambridge Maths Academy

Pure mathematics Year 1 Here's a short introduction to Pure maths 1 Chapter 8 The Binomial expansion. 8.1 Pascal's triangle: Use Pascal's triangle to identify binomial coefficients and use them to expand simple binomial expressions. 8.2 Factorial notation: Use combinations and factorial notation. 8.3 The binomial expansion: Use the binomial expansion to expand brackets. 8.4 Solving binomial prob..

수학 모음 (Maths collection) 전체보기 1. Area of a regular octagon Question. Find the area of a regular octagon with side length $a$. (4-9 Higher GCSE by Michael White, Ch13 Geometry 4, p.426 Q19.) We consider the area of the triangle with an angle $\theta$ subtended at the centre. $$ \begin{align} \theta=\frac{360}{8}=45^\circ \end{align} $$ The height $h$ of the triangle is given by $$ \begin{align} \..

Question. 미샤는 4000파운드를 연복리 이자율 3.75%인 은행에 예금으로 넣었다. 매년 이자로 받는 돈에 20%의 세금이 매겨진다. 4년 후 미샤는 가격이 4500파운드인 루비를 사고자 하는데, 이때 은행계좌에 루비를 사기에 충분한 돈이 있을 것인가? 만약 아니라면 미샤는 얼마의 돈을 더 모아야 하는가? Solution. 매년 돈이 얼마나 늘어나는지 계산을 해서 다음과 같이 문제를 풀 수 있다. 1년 후: $$ \begin{align} {\rm 이자\;}:&\qquad 4000\times\frac{3.75}{100}=150 \\ {\rm 세금\;}:&\qquad 150\times\frac{20}{100}=30 \\ {\rm 총액\;}:&\qquad A_1=4000+150-30=4120 \end..

수학 모음 (Maths collection) 전체보기 Question. Misha invests ￡4000 in a bank with a compound interest rate of 3.75% per annum. At the end of each year Misha has to pay 20% tax on the interest made during that year. After 4 years Misha finds a ruby stone valued at 4500. Has he go enough money in the bank to afford to buy the ruby stone? If not, how much more would he need to save? Solution. For GCSE/mid..

Question. 다음 적분을 구하라. $$ \begin{align} {\rm (a)}&& &\int\frac{1}{\sqrt{1-3x^2}}\,dx \\ {\rm (b)}&& &\int\frac{x}{4x^2+8x+13}\,dx \\ {\rm (c)}&& &\int_0^1\arcsin x\,dx \end{align} $$ Solution. (a) 치환적분(Integration by substitution)을 사용하여 $$ \begin{align} x&=\frac1{\sqrt{3}}\sin u \\ \Rightarrow\quad dx&=\frac1{\sqrt{3}}\cos u\,du \\ \end{align}$$ 다음과 같이 적분할 수 있다. $$ \begin{align} I_1 &=\int\frac{1..

Question. 다음에서 $\frac{dy}{dx}$를 구하라. (a) $y=\arcsin(1-2x)$ (b) $y=\arctan\left(x^2+1\right)$ Solution. (a) 역함수는 1:1 대응일 때만 존재하기 때문에 정의역과 치역을 구해두는 것이 도움이 된다. 함수 $y=\arcsin(1-2x)$의 정의역과 치역은 다음과 같다. $$ \begin{gather} -1\le 1-2x \le 1 \\ -\frac{\pi}{2}\le y \le\frac{\pi}{2} \end{gather} $$ 양변에 $\sin$을 취해 정리하면, $$ \begin{align} y&=\arcsin(1-2x) \\ \Rightarrow\quad 1-2x&=\sin y. \end{align} $$ 다음과 같이 ..

수학 모음 (Maths collection) 전체보기 Question. Evaluate the following integrals: $$ \begin{align} {\rm (a)}&& &\int\frac{1}{\sqrt{1-3x^2}}\,\textrm{d}x \\ {\rm (b)}&& &\int\frac{x}{4x^2+8x+13}\,\textrm{d}x \\ {\rm (c)}&& &\int_0^1\arcsin x\,\textrm{d}x \end{align} $$ Solution. (a) By substitution, $$ \begin{align} x&=\frac1{\sqrt{3}}\sin u \\ \Rightarrow\quad \textrm{d}x&=\frac1{\sqrt{3}}\cos u\,\textr..

수학 모음 (Maths collection) 전체보기 Question. Find $\frac{dy}{dx}$ for: $$ \begin{align} \textrm{(a)}&\qquad y = \arcsin(1-2x) \\ \textrm{(b)}&\qquad y = \arctan\left(x^2+1\right) \end{align} $$ Solution. (a) For $y=\arcsin(1-2x)$, we have $$ \begin{gather} -1\le 1-2x \le 1 \\ -\frac{\pi}{2}\le y \le\frac{\pi}{2} \end{gather} $$ We re-express the equation $$ \begin{align} y&=\arcsin(1-2x) \\ \Rightarr..