Cambridge Maths Academy

수학 모음 (Maths collection) 전체보기 For a function which depends on two variables $(x,y)$, $$ \textrm f = \textrm f(x,y) $$ we find the critical points by considering 2-dimensional gradient and second-order derivatives. (In 1D, the critical points are usually called the stationary points.) (i) Critical points: $$ \begin{align} \nabla \textrm f = \left( \frac{ \partial \textrm f }{ \partial x }, \frac{..

수학 모음 (Maths collection) 전체보기 This post has been partly motivated by P2 §11.6 Integration by parts CP2 §6.5 Integrating hyperbolic functions CP2 §7.1 First-order differential equations (obtaining the particular integrals using the integrating factor) Question. Derive the following results. $$ \begin{align} \textrm{(a)} &&& I_1(a,b) = \int \textrm e^{ ax } \cos b x \, \textrm dx = \frac{ \textrm ..

수학 모음 (Maths collection) 전체보기 This little investigation has been motivated by Exercise 7B, Challenge in CP2 §7.2 Second-order homogeneous differential equations. Question 1. What happens with a first-order differential equation with complex constant coefficients? $$ \begin{align} (a_1 + ia_2) \frac{ \textrm{d} y }{ \textrm{d}x } + (b_1 + ib_2) y &= 0 \end{align} $$ Method 1. Using matrix notatio..

Archimedes (c.287 – c. 212 BC) $$ \begin{align} \frac{223}{71} < \pi < \frac{22}{7} \end{align} $$ $$ \begin{align} \pi \sim 3.14 \end{align} $$ Ptolemy (c.100 – c.170 AD) $$ \begin{align} \pi \sim 3.1416 \end{align} $$ Zu Chongzhi (430 - 501 AD) $$ \begin{align} \pi \sim \frac{355}{113} \quad (=3.1415929\cdots) \end{align} $$ Francois Viete (1540 - 1615) $$ \begin{align} \frac{2}{\pi} = \frac{ ..

0의 개념은 오랜 기간에 걸쳐 형성되었다. 0의 두 가지 기능 0에는 '숫자로서의 0'과 '자리지킴이로서의 0' 이렇게 두 가지 기능이 있다. 숫자로서의 0은 말 그대로 없음(無, empty)의 0이다. 가령, 탁자 위에 사과가 한 개 있다고 가정해보자. 그 사과를 먹고 나면 남은 사과의 갯수는 0이다. 이것이 없음의 0, 숫자로서의 0이다. '자리지킴이로서의 0'을 이해하기 위해 이번에는 탁자 위에 사과 스무 개가 있다고 가정해보자. 이를 숫자로 20이라고 나타내는데, 여기서 0은 숫자 2가 일의 자리가 아닌 십의 자리에 있음을 나타내기 위해 사용된다. 즉, 일의 자리가 비었음을 표시하기 위해 사용되는 자리지킴이로서의 0이다. 이런 0은 자리를 차지한다하여 placeholder 또는 placekeepe..

수학 모음 (Maths collection) 전체보기 Question. Let $$ \begin{align} I_n = \int \sin^n(ax) \, \textrm{d}x \end{align} $$ (a) Show that $$ \begin{align} I_n = -\frac1{an} \sin^{n-1}(ax) \cos(ax) + \frac{n-1}{n}I_{n-2} \end{align} $$ Let $$ \begin{align} J_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^nx \, \textrm{d}x \end{align} $$ (b) Hence, or otherwise, show that $$ \begin{align} J_n = \frac{n-1}{n}J_{n-2} \end{al..

수학 모음 (Maths collection) 전체보기 Consider $$ \begin{align} J = \int \sqrt{ \cot x }\, \textrm{d}x \quad \textrm{for} \quad 0 < x \le \frac{\pi}{2} \end{align} $$ (a) Method 1. By using the substitution $u = \sqrt{ \cot x }$, followed by partial fractions, we can show that $$ \begin{align} J &= \frac1{2\sqrt{2}} \ln \left\vert \frac{1 + \sqrt{2 \cot x} + \cot x}{1 - \sqrt{2 \cot x} + \cot x} \right\..

수학 모음 (Maths collection) 전체보기 Consider $$ \begin{align} I = \int \sqrt{\tan x}\,\textrm{d}x \quad \textrm{for} \quad 0 \le x < \frac{\pi}{2} \end{align} $$ (a) Method 1. By using the substitution $u = \sqrt{ \tan x }$, followed by partial fractions, we can show that $$ \begin{align} I &= \frac1{2\sqrt{2}} \ln \left\vert \frac{ \tan x - \sqrt{2 \tan x} + 1 }{ \tan x + \sqrt{2 \tan x} + 1 } \right..