15. 미분 - 역삼각함수 문제

Question. 다음에서 $\frac{dy}{dx}$를 구하라.

(a) $y=\arcsin(1-2x)$

(b) $y=\arctan\left(x^2+1\right)$

 

Solution. (a) 역함수는 1:1 대응일 때만 존재하기 때문에 정의역과 치역을 구해두는 것이 도움이 된다. 함수 $y=\arcsin(1-2x)$의 정의역과 치역은 다음과 같다. $$\begin{gather} -1\le 1-2x \le 1 \\ -\frac{\pi}{2}\le y \le\frac{\pi}{2} \end{gather}$$ 양변에 $\sin$을 취해 정리하면, $$\begin{align} y&=\arcsin(1-2x) \\ \Rightarrow\quad 1-2x&=\sin y. \end{align}$$ 다음과 같이 역함수의 미분(implicit differentiation)을 사용하여 도함수를 구할 수 있다. $$\begin{align} \frac{d}{dy}(1-2x)&=\frac{d}{dy}\sin y \\ \Rightarrow\quad -2\frac{dx}{dy}&=\cos y \\ &=\sqrt{1-\sin^2y}\qquad\left({\rm for}\quad -\frac{\pi}{2}\le y \le\frac{\pi}{2}\right) \\ &=\sqrt{1-(1-2x)^2} \\ &=\sqrt{4x-4x^2} \\ &=2\sqrt{x(1-x)} \\ \Rightarrow\quad \frac{dx}{dy}&=-\sqrt{x(1-x)} \\ \\ \Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}&=\frac{1}{\frac{dx}{dy}} =-\frac{2}{\sqrt{1-(1-2x)^2}} =-\frac1{\sqrt{x(1-x)}} \end{align}$$

 

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(b) 함수 $y=\arctan\left(x^2+1\right)$의 정의역과 치역은 다음과 같다. $$\begin{gather} -\infty\le x^2+1 \le \infty \\ -\frac{\pi}{2}\le y \le\frac{\pi}{2} \end{gather}$$ 양변에 $\tan$을 취해 정리하면, $$\begin{align} y&=\arctan\left(x^2+1\right) \\ \Rightarrow\quad x^2+1&=\tan y \end{align}$$ 다음과 같이 합성함수의 미분(chain rule)을 사용하여 도함수를 구할 수 있다. $$\begin{align} \frac{d}{dx}\left(x^2+1\right)&=\frac{d}{dx}\tan y \\ \Rightarrow\quad 2x&=\frac{dy}{dx}\frac{d}{dy}\tan y \\ &=\frac{dy}{dx}\sec^2 y \\ &=\frac{dy}{dx}\left(1+\tan^2y\right) \\ &=\frac{dy}{dx}\left[1+\left(x^2+1\right)^2\right] \\ \\ \Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}&=\frac{2x}{1+\left(x^2+1\right)^2}=\frac{2x}{x^4+2x^2+2} \end{align}$$