16. 까다로운 적분 문제

Question. 다음 적분을 구하라.

$$\begin{align} {\rm (a)}&& &\int\frac{1}{\sqrt{1-3x^2}}\,dx \\ {\rm (b)}&& &\int\frac{x}{4x^2+8x+13}\,dx \\ {\rm (c)}&& &\int_0^1\arcsin x\,dx \end{align}$$

 

Solution. (a) 치환적분(Integration by substitution)을 사용하여 $$\begin{align} x&=\frac1{\sqrt{3}}\sin u \\ \Rightarrow\quad dx&=\frac1{\sqrt{3}}\cos u\,du \\ \end{align}$$ 다음과 같이 적분할 수 있다. $$\begin{align} I_1 &=\int\frac{1}{\sqrt{1-3x^2}}\,dx \\ &=\int\frac{1}{\underbrace{\sqrt{1-\sin^2u}}_{\cos u}}\,\frac1{\sqrt{3}}\cos u\,du \\ &=\frac1{\sqrt{3}}\int\,du \\ &=\frac1{\sqrt{3}}u+c \\ &=\frac1{\sqrt{3}}\arcsin\left(\sqrt{3}x\right)+c \end{align}$$

 

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(b) 피적분함수(integrand)를 살펴보면, 분자는 1차식이고 분모는 2차식으로 적절히 변형하면 다음과 같은 형태로 만들 수 있다. $$\begin{align} \frac{f'(x)}{f(x)} \end{align}$$ 다음과 같이 분모의 도함수를 염두에 두면서 피적분함수를 적절히 변형해보자. $$\begin{align} f(x)&=4x^2+8x+13 \\ \Rightarrow\quad f'(x)&=8x+8 \end{align}$$ 적분의 과정은 다음과 같다. $$\begin{align} I_2 &=\int\frac{x}{4x^2+8x+13}\,dx \\ &=\frac18\int\frac{8x}{4x^2+8x+13}\,dx \\ &=\frac18\int\frac{8x+8-8}{4x^2+8x+13}\,dx \\ &=\frac18\int\frac{8x+8}{4x^2+8x+13}\,dx-\int\frac{1}{4x^2+8x+13}\,dx \\ &=\frac18\ln\left\vert 4x^2+8x+13\right\vert-\underbrace{\int\frac{1}{4x^2+8x+13}\,dx}_{J} \\ \end{align}$$ 이제 남은 일은 $J$를 찾는 일이다. 분모에 2차식이 있으므로 완전제곱식으로 표현한 다음 적절한 치환적분을 사용하면 된다. $$\begin{align} J &=\int\frac{1}{4x^2+8x+13}\,dx \\ &=\int\frac{1}{4\left(x^2+2x\right)+13}\,dx \\ &=\int\frac{1}{4(x+1)^2+9}\,dx \\ \end{align}$$ 다음과 같이 치환하면, $$\begin{align} x+1&=\frac32\tan u \\ \Rightarrow\quad dx&=\frac32\sec^2 u\,du \end{align}$$ 이제 $J$를 완전히 적분하게 된다. $$\begin{align} \Rightarrow\quad J &=\int\frac{1}{9\underbrace{\left(\tan^2u+1\right)}_{\sec^2u}}\,\frac32\sec^2 u\,du \\ &=\frac16\int\,du \\ &=\frac16u+c \\ &=\frac16\arctan\left[\frac23(x+1)\right]+c \end{align}$$ Finally, we find $$\begin{align} I_2 &=\frac18\ln\left\vert 4x^2+8x+13\right\vert-\frac16\arctan\left[\frac23(x+1)\right]+c \end{align}$$

 

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(c) 부분적분(integration by parts)을 사용한다. $$\begin{align} u&=\arcsin x & v'&=1 \\ u'&=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} & v&=x \end{align}$$ 그리고 $$\begin{align} \int uv'\,dx=uv-\int u'v\,dx \end{align}$$ 이 식을 사용하여 적분이 가능하다. $$\begin{align} I_3 &=\int_0^1\arcsin x\,dx &=\Big[x\arcsin x\Big]_0^1-\int_0^1\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx \\ &=\arcsin 1+\Big[\sqrt{1-x^2}\Big]_0^1 \\ &=\frac{\pi}{2}-1 \end{align}$$