Cambridge Maths Academy

원뿔의 표면적을 구하기 위해서 전개도를 고려한다. 전개도는 원뿔을 잘라 펼친 그림의 의미한다. 전개도에서 부채꼴(sector)의 넓이와 원의 넓이를 구한 다음 둘의 넓이를 더하면 된다. 부채꼴의 넓이: 부채꼴 안에 있는 각도 $\theta$를 구해야 하는데, 이는 호의 길이를 고려하여 구할 수 있다. $$ \begin{align} L=2\pi\ell\times\frac{\theta}{360}&=2\pi r \\ \Rightarrow\quad \ell\times\frac{\theta}{360}&=r \end{align} $$ 부채꼴(sector)의 넓이: $$ \begin{align} A_{\rm sector}&=\pi\ell^2\times\frac{\theta}{360} \\ &=\pi\ell\times..

Question. 미샤는 4000파운드를 연복리 이자율 3.75%인 은행에 예금으로 넣었다. 매년 이자로 받는 돈에 20%의 세금이 매겨진다. 4년 후 미샤는 가격이 4500파운드인 루비를 사고자 하는데, 이때 은행계좌에 루비를 사기에 충분한 돈이 있을 것인가? 만약 아니라면 미샤는 얼마의 돈을 더 모아야 하는가? Solution. 매년 돈이 얼마나 늘어나는지 계산을 해서 다음과 같이 문제를 풀 수 있다. 1년 후: $$ \begin{align} {\rm 이자\;}:&\qquad 4000\times\frac{3.75}{100}=150 \\ {\rm 세금\;}:&\qquad 150\times\frac{20}{100}=30 \\ {\rm 총액\;}:&\qquad A_1=4000+150-30=4120 \end..

Question. 다음 적분을 구하라. $$ \begin{align} {\rm (a)}&& &\int\frac{1}{\sqrt{1-3x^2}}\,dx \\ {\rm (b)}&& &\int\frac{x}{4x^2+8x+13}\,dx \\ {\rm (c)}&& &\int_0^1\arcsin x\,dx \end{align} $$ Solution. (a) 치환적분(Integration by substitution)을 사용하여 $$ \begin{align} x&=\frac1{\sqrt{3}}\sin u \\ \Rightarrow\quad dx&=\frac1{\sqrt{3}}\cos u\,du \\ \end{align}$$ 다음과 같이 적분할 수 있다. $$ \begin{align} I_1 &=\int\frac{1..

Question. 다음에서 $\frac{dy}{dx}$를 구하라. (a) $y=\arcsin(1-2x)$ (b) $y=\arctan\left(x^2+1\right)$ Solution. (a) 역함수는 1:1 대응일 때만 존재하기 때문에 정의역과 치역을 구해두는 것이 도움이 된다. 함수 $y=\arcsin(1-2x)$의 정의역과 치역은 다음과 같다. $$ \begin{gather} -1\le 1-2x \le 1 \\ -\frac{\pi}{2}\le y \le\frac{\pi}{2} \end{gather} $$ 양변에 $\sin$을 취해 정리하면, $$ \begin{align} y&=\arcsin(1-2x) \\ \Rightarrow\quad 1-2x&=\sin y. \end{align} $$ 다음과 같이 ..

질문) 두 번째 사진 4-(1)에 해당하는 중성대 높이 산출 과정이 어떻게 되는 건가요? 해설) 중심이 되는 식은 다음 방정식입니다. $$ \begin{align} \frac{h_1}{h_2}=\frac{h_1}{H-h_1}=\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right) \end{align} $$ 이 식은 두 개의 식을 하나로 묶은 것으로 다음과 같은 연립방정식으로부터 나왔다고 볼 수 있습니다. $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{h_1}{h_2}=\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right) \\ h_1+h_2=H \end{array} \right.$$ 코멘트: ..