17. 이자와 세금 (등비수열)

Question. 미샤는 4000파운드를 연복리 이자율 3.75%인 은행에 예금으로 넣었다.

 

매년 이자로 받는 돈에 20%의 세금이 매겨진다.

 

4년 후 미샤는 가격이 4500파운드인 루비를 사고자 하는데, 이때 은행계좌에 루비를 사기에 충분한 돈이 있을 것인가? 만약 아니라면 미샤는 얼마의 돈을 더 모아야 하는가?

 

Solution. 매년 돈이 얼마나 늘어나는지 계산을 해서 다음과 같이 문제를 풀 수 있다.

 

• 1년 후: $$ \begin{align} {\rm 이자\;}:&\qquad 4000\times\frac{3.75}{100}=150 \\ {\rm 세금\;}:&\qquad 150\times\frac{20}{100}=30 \\ {\rm 총액\;}:&\qquad A_1=4000+150-30=4120 \end{align} $$

 

• 2년 후: $$ \begin{align} {\rm 이자\;}:&\qquad 4120\times\frac{3.75}{100}=154.5 \\ {\rm 세금\;}:&\qquad 150\times\frac{20}{100}=30.9 \\ {\rm 총액\;}:&\qquad A_2=4120+154.5-30.9=4243.6 \end{align} $$

 

• 3년 후: $$ \begin{align} {\rm 이자\;}:&\qquad 4243.6\times\frac{3.75}{100}=159.135 \\ {\rm 세금\;}:&\qquad 159.135\times\frac{20}{100}=31.827 \\ {\rm 총액\;}:&\qquad A_3=4243.6+159.135-31.827=4370.908 \end{align} $$

 

• 4년 후: $$ \begin{align} {\rm 이자\;}:&\qquad 4370.908\times\frac{3.75}{100}=163.90905 \\ {\rm 세금\;}:&\qquad 163.90905\times\frac{20}{100}=32.78181 \\ {\rm 총액\;}:&\qquad A_4=4370.908+163.90905-32.78181=4502.03524 \end{align} $$

따라서 미샤는 충분한 돈을 가지고 있다. (여유분 2.04 파운드를 더 가지고 있다.)

 

다른 방법. 조금 더 일반적인 경우를 살펴보면, 보다 효율적인 공식을 유도할 수 있다. 이 공식은 등비수열의 형태를 띤다.

 

원금을 $a$라고 하고 연복리 이자율을 $r$%라고 하면,

$$ \begin{align} {\rm 1st\;year\;:}&\qquad A_1=a+a\times\frac{r}{100}=a\left(1+\frac{r}{100}\right) \\ {\rm 2nd\;year\;:}&\qquad A_2=A_1+A_1\times\frac{r}{100}=A_1\left(1+\frac{r}{100}\right)=a\left(1+\frac{r}{100}\right)^2 \\ {\rm 3rd\;year\;:}&\qquad A_3=A_2+A_2\times\frac{r}{100}=A_2\left(1+\frac{r}{100}\right)=a\left(1+\frac{r}{100}\right)^3 \\ &\;\vdots \\ n{\rm -th\;year\;:}&\qquad A_n=a\left(1+\frac{r}{100}\right)^n \end{align} $$

 

이제 이자에 $t$%의 세금을 매기면, $$ \begin{align} {\rm 1st\;year\;:}&\qquad A_1=a+a\times\frac{r}{100}-a\times\frac{r}{100}\times\frac{t}{100}=a\left(1+\frac{r}{100}-\frac{rt}{10000}\right) \\ {\rm 2nd\;year\;:}&\qquad A_2=A_1\left(1+\frac{r}{100}-\frac{rt}{10000}\right)=a\left(1+\frac{r}{100}-\frac{rt}{10000}\right)^2 \\ {\rm 3rd\;year\;:}&\qquad A_3=A_2\left(1+\frac{r}{100}-\frac{rt}{10000}\right)=a\left(1+\frac{r}{100}-\frac{rt}{10000}\right)^3 \\ &\;\vdots \\ n{\rm -th\;year\;:}&\qquad A_n=a\left(1+\frac{r}{100}-\frac{rt}{10000}\right)^n \end{align} $$

 

적용. 이제 이 공식을 위의 사례에 적용해보자. 이자율 $r=3.75$%과 세금 $t=20$%의 경우다. $$ \begin{align} {\rm 1st\;year\;:}&\qquad A_1=a\left(1+\frac{r}{100}-\frac{rt}{10000}\right)=4000\left(1+\frac{3.75}{100}-\frac{3.75\times20}{10000}\right)=4120 \\ {\rm 2nd\;year\;:}&\qquad A_2=a\left(1+\frac{r}{100}-\frac{rt}{10000}\right)^2=4000\left(1+\frac{3.75}{100}-\frac{3.75\times20}{10000}\right)^2=4243.6 \\ {\rm 3rd\;year\;:}&\qquad A_3=a\left(1+\frac{r}{100}-\frac{rt}{10000}\right)^3=4000\left(1+\frac{3.75}{100}-\frac{3.75\times20}{10000}\right)^3=4370.908 \\ {\rm 4th\;year\;:}&\qquad A_4=a\left(1+\frac{r}{100}-\frac{rt}{10000}\right)^4=4000\left(1+\frac{3.75}{100}-\frac{3.75\times20}{10000}\right)^4=4502.03524 \end{align} $$ 따라서 위에 계산한 결과와 같은 값을 얻을 수 있다.

 

한 걸음 더 들어가기 1. 위 과정을 통해 다음 공식을 유도하였다.

$$ \begin{align} A_n=a\left(1+\frac{r}{100}-\frac{rt}{10000}\right)^n \end{align} $$ 만약 세금을 너무 많이 매기면, 언젠가 $A_n$이 원금 $a$보다 적어지지 않을까. 이 정도의 세율을 피해야 하니 정부에서도 세율을 정할 때 $A_n\ge a$가 만족되도록 결정할 것이다. 변수를 간단히 쓰기 위해 $x,y$를 사용하여 $$ \begin{align} x&=\frac{r}{100} \\ y&=\frac{t}{100} \end{align} $$ 공식을 다시 표현하면, $$ \begin{align} A_n=a\left(1+x-xy\right)^n&\ge a \\ \Rightarrow\quad 1+x-xy&\ge 1 \end{align} $$ 우리가 원하는 건 다음과 같다. $$ \begin{align} x\underbrace{(1-y)}_{0\le\quad\le 1}&\ge 0 &&{\rm and} & xy&\le x \\ \\ \Rightarrow\quad x&\ge0 &&{\rm and}& y&\le 1 \end{align} $$ 따라서 이자율이 양수이고 세율이 100%만 아니라면 늘 원금보다는 총액이 올라간다. 이는 세금이 원금을 제외한 이자에만 부과되기 때문이다. 이쯤되면 원금에도 세금이 부과되는 상황도 고려해볼 수 있다. 아래 계속 이어가도록 하겠다.

 

한 걸음 더 들어가기 2. 세금이 원금에도 부과된다면 공식을 다음과 같이 바뀐다.

$$ \begin{align} {\rm 1st\;year\;:}&\qquad A_1=a+a\times\frac{r}{100}-a\left(1+\times\frac{r}{100}\right)\frac{t}{100}=a\left(1+\frac{r}{100}\right)\left(1-\frac{rt}{10000}\right) \\ {\rm 2nd\;year\;:}&\qquad A_2=A_1\left(1+\frac{r}{100}\right)\left(1-\frac{rt}{10000}\right)=a\left(1+\frac{r}{100}\right)^2\left(1-\frac{rt}{10000}\right)^2 \\ {\rm 3rd\;year\;:}&\qquad A_3=A_2\left(1+\frac{r}{100}\right)\left(1-\frac{rt}{10000}\right)=a\left(1+\frac{r}{100}\right)^3\left(1-\frac{rt}{10000}\right)^3 \\ &\;\vdots \\ n{\rm -th\;year\;:}&\qquad A_n=a\left(1+\frac{r}{100}\right)^n\left(1-\frac{rt}{10000}\right)^n \end{align} $$ 위에서처럼 $x,y$를 사용하여, $$ \begin{align} x&=\frac{r}{100} \\ y&=\frac{t}{100}. \end{align} $$ 그러면 $$ \begin{align} A_n=a(1+x)^n(1-y)^n \end{align} $$ 총액이 원금보다 높기 위해서는 ($A_n\ge a$), $$ \begin{align} (1+x)(1-y)\ge 1 \end{align} $$ 다시 정리하면, $$ \begin{align} 1+x&\ge\frac1{1-y} &&{\rm and} & 1-y&\ge\frac1{1+x} \\ \Rightarrow\quad x&\ge-1-\frac1{y-1} &&{\rm and}& y&\le 1-\frac1{x+1} \end{align} $$ 함수를 그려보면 다음과 같다.

The graph of $x=-1-\frac{1}{y-1}$

 

The graph of $y=1-\frac1{x+1}$

 

결론은: $$ \begin{align} 0\le x \le 1 \qquad{\rm and}\qquad 0\le y\le \frac12 \end{align} $$ 즉, 세율이 50%를 넘으면 원금보다 돈이 적어지기 시작한다. 그리고 원금을 지키기 위한 세율의 상한치는 이자율에 따라 달라지는데 몇몇 값을 구해보면 다음과 같다.

이자율 $r$%	세율 $t$%
10%	9.1%
20%	16.7%
30%	23.1%
40%	28.6%
50%	33.3%
60%	37.5%
70%	41.2%
80%	44.4%
90%	47.4%
100%	50%