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17. 이자와 세금 (등비수열)

Cambridge Maths Academy 2021. 1. 6. 01:03
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Question. 미샤는 4000파운드를 연복리 이자율 3.75%인 은행에 예금으로 넣었다.

 

매년 이자로 받는 돈에 20%의 세금이 매겨진다.

 

4년 후 미샤는 가격이 4500파운드인 루비를 사고자 하는데, 이때 은행계좌에 루비를 사기에 충분한 돈이 있을 것인가? 만약 아니라면 미샤는 얼마의 돈을 더 모아야 하는가?

 

Solution. 매년 돈이 얼마나 늘어나는지 계산을 해서 다음과 같이 문제를 풀 수 있다.

 

    • 1년 후: :4000×3.75100=150:150×20100=30:A1=4000+15030=4120

 

    • 2년 후: :4120×3.75100=154.5:150×20100=30.9:A2=4120+154.530.9=4243.6

 

    • 3년 후: :4243.6×3.75100=159.135:159.135×20100=31.827:A3=4243.6+159.13531.827=4370.908

 

  • 4년 후: :4370.908×3.75100=163.90905:163.90905×20100=32.78181:A4=4370.908+163.9090532.78181=4502.03524

따라서 미샤는 충분한 돈을 가지고 있다. (여유분 2.04 파운드를 더 가지고 있다.)

 

다른 방법. 조금 더 일반적인 경우를 살펴보면, 보다 효율적인 공식을 유도할 수 있다. 이 공식은 등비수열의 형태를 띤다.

 

원금을 a라고 하고 연복리 이자율을 r%라고 하면,

1styear:A1=a+a×r100=a(1+r100)2ndyear:A2=A1+A1×r100=A1(1+r100)=a(1+r100)23rdyear:A3=A2+A2×r100=A2(1+r100)=a(1+r100)3nthyear:An=a(1+r100)n

 

이제 이자에 t%의 세금을 매기면, 1styear:A1=a+a×r100a×r100×t100=a(1+r100rt10000)2ndyear:A2=A1(1+r100rt10000)=a(1+r100rt10000)23rdyear:A3=A2(1+r100rt10000)=a(1+r100rt10000)3nthyear:An=a(1+r100rt10000)n

 

적용. 이제 이 공식을 위의 사례에 적용해보자. 이자율 r=3.75%과 세금 t=20%의 경우다. 1styear:A1=a(1+r100rt10000)=4000(1+3.751003.75×2010000)=41202ndyear:A2=a(1+r100rt10000)2=4000(1+3.751003.75×2010000)2=4243.63rdyear:A3=a(1+r100rt10000)3=4000(1+3.751003.75×2010000)3=4370.9084thyear:A4=a(1+r100rt10000)4=4000(1+3.751003.75×2010000)4=4502.03524 따라서 위에 계산한 결과와 같은 값을 얻을 수 있다.

 

한 걸음 더 들어가기 1. 위 과정을 통해 다음 공식을 유도하였다.

An=a(1+r100rt10000)n 만약 세금을 너무 많이 매기면, 언젠가 An이 원금 a보다 적어지지 않을까. 이 정도의 세율을 피해야 하니 정부에서도 세율을 정할 때 Ana가 만족되도록 결정할 것이다. 변수를 간단히 쓰기 위해 x,y를 사용하여 x=r100y=t100 공식을 다시 표현하면, An=a(1+xxy)na1+xxy1 우리가 원하는 건 다음과 같다. x(1y)010andxyxx0andy1 따라서 이자율이 양수이고 세율이 100%만 아니라면 늘 원금보다는 총액이 올라간다. 이는 세금이 원금을 제외한 이자에만 부과되기 때문이다. 이쯤되면 원금에도 세금이 부과되는 상황도 고려해볼 수 있다. 아래 계속 이어가도록 하겠다.

 

한 걸음 더 들어가기 2. 세금이 원금에도 부과된다면 공식을 다음과 같이 바뀐다.

1styear:A1=a+a×r100a(1+×r100)t100=a(1+r100)(1rt10000)2ndyear:A2=A1(1+r100)(1rt10000)=a(1+r100)2(1rt10000)23rdyear:A3=A2(1+r100)(1rt10000)=a(1+r100)3(1rt10000)3nthyear:An=a(1+r100)n(1rt10000)n 위에서처럼 x,y를 사용하여, x=r100y=t100. 그러면 An=a(1+x)n(1y)n 총액이 원금보다 높기 위해서는 (Ana), (1+x)(1y)1 다시 정리하면, 1+x11yand1y11+xx11y1andy11x+1 함수를 그려보면 다음과 같다.

The graph of x=11y1

 

The graph of y=11x+1

 

결론은: 0x1and0y12 즉, 세율이 50%를 넘으면 원금보다 돈이 적어지기 시작한다. 그리고 원금을 지키기 위한 세율의 상한치는 이자율에 따라 달라지는데 몇몇 값을 구해보면 다음과 같다.

이자율 r% 세율 t%
10% 9.1%
20% 16.7%
30% 23.1%
40% 28.6%
50% 33.3%
60% 37.5%
70% 41.2%
80% 44.4%
90% 47.4%
100% 50%
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