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Cambridge Maths Academy
17. 이자와 세금 (등비수열) 본문
Question. 미샤는 4000파운드를 연복리 이자율 3.75%인 은행에 예금으로 넣었다.
매년 이자로 받는 돈에 20%의 세금이 매겨진다.
4년 후 미샤는 가격이 4500파운드인 루비를 사고자 하는데, 이때 은행계좌에 루비를 사기에 충분한 돈이 있을 것인가? 만약 아니라면 미샤는 얼마의 돈을 더 모아야 하는가?
Solution. 매년 돈이 얼마나 늘어나는지 계산을 해서 다음과 같이 문제를 풀 수 있다.
- 1년 후: 이자:4000×3.75100=150세금:150×20100=30총액:A1=4000+150−30=4120
- 2년 후: 이자:4120×3.75100=154.5세금:150×20100=30.9총액:A2=4120+154.5−30.9=4243.6
- 3년 후: 이자:4243.6×3.75100=159.135세금:159.135×20100=31.827총액:A3=4243.6+159.135−31.827=4370.908
- 4년 후: 이자:4370.908×3.75100=163.90905세금:163.90905×20100=32.78181총액:A4=4370.908+163.90905−32.78181=4502.03524
따라서 미샤는 충분한 돈을 가지고 있다. (여유분 2.04 파운드를 더 가지고 있다.)
다른 방법. 조금 더 일반적인 경우를 살펴보면, 보다 효율적인 공식을 유도할 수 있다. 이 공식은 등비수열의 형태를 띤다.
원금을 a라고 하고 연복리 이자율을 r%라고 하면,
1styear:A1=a+a×r100=a(1+r100)2ndyear:A2=A1+A1×r100=A1(1+r100)=a(1+r100)23rdyear:A3=A2+A2×r100=A2(1+r100)=a(1+r100)3⋮n−thyear:An=a(1+r100)n
이제 이자에 t%의 세금을 매기면, 1styear:A1=a+a×r100−a×r100×t100=a(1+r100−rt10000)2ndyear:A2=A1(1+r100−rt10000)=a(1+r100−rt10000)23rdyear:A3=A2(1+r100−rt10000)=a(1+r100−rt10000)3⋮n−thyear:An=a(1+r100−rt10000)n
적용. 이제 이 공식을 위의 사례에 적용해보자. 이자율 r=3.75%과 세금 t=20%의 경우다. 1styear:A1=a(1+r100−rt10000)=4000(1+3.75100−3.75×2010000)=41202ndyear:A2=a(1+r100−rt10000)2=4000(1+3.75100−3.75×2010000)2=4243.63rdyear:A3=a(1+r100−rt10000)3=4000(1+3.75100−3.75×2010000)3=4370.9084thyear:A4=a(1+r100−rt10000)4=4000(1+3.75100−3.75×2010000)4=4502.03524 따라서 위에 계산한 결과와 같은 값을 얻을 수 있다.
한 걸음 더 들어가기 1. 위 과정을 통해 다음 공식을 유도하였다.
An=a(1+r100−rt10000)n 만약 세금을 너무 많이 매기면, 언젠가 An이 원금 a보다 적어지지 않을까. 이 정도의 세율을 피해야 하니 정부에서도 세율을 정할 때 An≥a가 만족되도록 결정할 것이다. 변수를 간단히 쓰기 위해 x,y를 사용하여 x=r100y=t100 공식을 다시 표현하면, An=a(1+x−xy)n≥a⇒1+x−xy≥1 우리가 원하는 건 다음과 같다. x(1−y)⏟0≤≤1≥0andxy≤x⇒x≥0andy≤1 따라서 이자율이 양수이고 세율이 100%만 아니라면 늘 원금보다는 총액이 올라간다. 이는 세금이 원금을 제외한 이자에만 부과되기 때문이다. 이쯤되면 원금에도 세금이 부과되는 상황도 고려해볼 수 있다. 아래 계속 이어가도록 하겠다.
한 걸음 더 들어가기 2. 세금이 원금에도 부과된다면 공식을 다음과 같이 바뀐다.
1styear:A1=a+a×r100−a(1+×r100)t100=a(1+r100)(1−rt10000)2ndyear:A2=A1(1+r100)(1−rt10000)=a(1+r100)2(1−rt10000)23rdyear:A3=A2(1+r100)(1−rt10000)=a(1+r100)3(1−rt10000)3⋮n−thyear:An=a(1+r100)n(1−rt10000)n 위에서처럼 x,y를 사용하여, x=r100y=t100. 그러면 An=a(1+x)n(1−y)n 총액이 원금보다 높기 위해서는 (An≥a), (1+x)(1−y)≥1 다시 정리하면, 1+x≥11−yand1−y≥11+x⇒x≥−1−1y−1andy≤1−1x+1 함수를 그려보면 다음과 같다.


결론은: 0≤x≤1and0≤y≤12 즉, 세율이 50%를 넘으면 원금보다 돈이 적어지기 시작한다. 그리고 원금을 지키기 위한 세율의 상한치는 이자율에 따라 달라지는데 몇몇 값을 구해보면 다음과 같다.
이자율 r% | 세율 t% |
10% | 9.1% |
20% | 16.7% |
30% | 23.1% |
40% | 28.6% |
50% | 33.3% |
60% | 37.5% |
70% | 41.2% |
80% | 44.4% |
90% | 47.4% |
100% | 50% |
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