중성대(Neutral zone) 질문

질문) 두 번째 사진 4-(1)에 해당하는 중성대 높이 산출 과정이 어떻게 되는 건가요?

해설) 중심이 되는 식은 다음 방정식입니다. $$ \begin{align} \frac{h_1}{h_2}=\frac{h_1}{H-h_1}=\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right) \end{align} $$ 이 식은 두 개의 식을 하나로 묶은 것으로 다음과 같은 연립방정식으로부터 나왔다고 볼 수 있습니다. $$ \left\{\begin{array}{l} \frac{h_1}{h_2}=\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right) \\ h_1+h_2=H \end{array} \right.$$

 

코멘트: 개인적으로 $A=B=C$ 형식을 좋아하지 않음;

- $A=B, B=C$

- $A=B, A=C$

- $A=C, B=C$

이렇게 세 가지의 가능성이 있는데, 쓴 사람은 쉬울지 모르나 읽는 사람은 이 세 가지 가능성 중 어디에서 나왔는지 다시 생각해봐야 하기 때문. 한 줄만 더 써주면 될 걸 그게 그리 어렵나;

 

본론으로 돌아가서, 두 번째 식을 이용하여 $h_2=H-h_1$라고 쓸 수 있으므로 이를 첫 번째 식에 대입합니다. $$ \begin{align} \frac{h_1}{H-h_1}=\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right) \end{align} $$

이 식의 양변에 $H-h_1$을 곱한 다음 $h_1$에 대해 정리하면, $$ \begin{align} h_1&=\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right)(H-h_1) \\ &=\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right)H-\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right)h_1 \\ \\ \Rightarrow \qquad \left[1+\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right)\right]h_1&=\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right)H \\ \\ \Rightarrow\qquad h_1&=\frac{\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right)H}{1+\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right)} \\ &=\frac{H}{\left[\frac{1+\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right)}{\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right)}\right]} \\ &=\frac{H}{\left[\frac{1}{\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^2\left(\frac{T_o}{T_i}\right)}+1\right]} \\ &=\frac{H}{\left[1+\left(\frac{A_2}{A_1}\right)^{-2}\left(\frac{T_o}{T_i}\right)^{-1}\right]} \\ &=\frac{H}{1+\left(\frac{A_1}{A_2}\right)^2\left(\frac{T_i}{T_o}\right)} \quad\checkmark \end{align} $$ 이렇게 식을 도출할 수 있습니다.