19. 원뿔의 표면적 구하기

원뿔의 표면적을 구하기 위해서 전개도를 고려한다. 전개도는 원뿔을 잘라 펼친 그림의 의미한다. 전개도에서 부채꼴(sector)의 넓이와 원의 넓이를 구한 다음 둘의 넓이를 더하면 된다.

 

 

• 부채꼴의 넓이: 부채꼴 안에 있는 각도 $\theta$를 구해야 하는데, 이는 호의 길이를 고려하여 구할 수 있다. $$ \begin{align} L=2\pi\ell\times\frac{\theta}{360}&=2\pi r \\ \Rightarrow\quad \ell\times\frac{\theta}{360}&=r \end{align} $$ 부채꼴(sector)의 넓이: $$ \begin{align} A_{\rm sector}&=\pi\ell^2\times\frac{\theta}{360} \\ &=\pi\ell\times\underbrace{\left(\ell\times\frac{\theta}{360}\right)}_{r} \\ &=\pi r\ell \end{align} $$
• 원의 넓이: $$ \begin{align} A_{\rm circle}=\pi r^2 \end{align} $$

 

따라서 원뿔의 표면적은 다음과 같다. $$ \begin{align} A&=A_{\rm circle}+A_{\rm sector} \\ &=\pi r^2+\pi r\ell \\ &=\pi r(r+\ell) \qquad\square \end{align} $$