5. 쌍곡코시컨트(csch x)의 적분법 | Integration of csch x

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1. $u={\rm csch}\,x+\coth x$ 치환적분

$$ \int{\rm csch}\,x\,\textrm{d}x=-\ln\vert{\rm csch}\,x+\coth x\vert+c $$

 

첫 번째 시도로 코시컨트의 적분에서처럼 자연로그를 시도할 수 있다. 쌍곡시컨트(sech)와 달리 쌍곡코시컨트는 삼각함수와 쌍곡선함수의 도함수에 마이너스 차이가 없기 때문에 자연로그 적분이 가능하다는 것을 알게 된다.

 

우리에게 필요한 도함수들은 다음과 같다.

$$ \begin{align} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\csc x&=-\csc x\cot x & \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}{\rm csch}\,x&=-{\rm csch}\,x\coth x \\ \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\cot x&=-\csc^2x & \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\coth x&=-{\rm csch}^2x \end{align} $$

여기서 ${\rm csch}\,x\,$와 $\coth x\,$에 둘 다 마이너스 사인이 나타나기 때문에 자연로그 형태가 나오는 것을 확인할 수 있다.

$$ \begin{align} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}(\csc x+\cot x)&=-\csc x\cot x-\csc^2x=-\csc x(\csc x+\cot x) \\ \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}({\rm csch}\,x+\coth x)&=-{\rm csch}\,x\coth x+{\rm csch}^2x=-{\rm csch}\,x({\rm csch}\,x+\coth x) \\ \int{\rm csch}\,x\,\textrm{d}x&=\int\frac{{\rm csch}\,x({\rm csch}\,x+\coth x)}{{\rm csch}\,x+\coth x}\,\textrm{d}x=-\ln\vert{\rm csch}\,x+\coth x\vert+c \end{align} $$

Comment: 위 계산의 마지막 줄은 $u={\rm csch}\,x+\coth x$ 치환적분을 사용하여 보다 체계적으로 이해할 수 있다.

$$ \begin{align} I&=\int{\rm csch}\,x\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{{\rm csch}\,x({\rm csch}\,x+\coth x)}{{\rm csch}\,x+\coth x}\,\textrm{d}x \\ &=-\int\frac1u\,\textrm{d}u \\ &=-\ln\vert u\vert+c \\ &=-\ln\vert{\rm csch}\,x+\coth x\vert+c \qquad\square \end{align}$$

2. $u=\textrm{e}^x$ 치환과 부분분수(partial fractions)

$$ \int{\rm csch}\,x\,\textrm{d}x=\ln\left\vert\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right\vert+c $$

 

책에 가장 많이 등장하는 표준적인 방법은 쌍곡선함수(hyperbolic function)을 지수함수 정의로 나타내어 치환하는 방법이다.

$$ \begin{align} \sinh x&=\frac{\textrm{e}^x-\textrm{e}^{-x}}{2} \\ {\rm csch}\,x&=\frac{2}{\textrm{e}^x-\textrm{e}^{-x}}=\frac{2\textrm{e}^x}{\textrm{e}^{2x}-1} \end{align} $$

이제 $u=\textrm{e}^x$ 치환을 사용하여 적분을 전개하면 ($\textrm{d}u=\textrm{e}^x\,\textrm{d}x=u\,\textrm{d}x$),

$$ \begin{align} \int{\rm csch}\,x\,\textrm{d}x&=\int\frac{2\textrm{e}^x}{\textrm{e}^{2x}-1}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{2}{u^2-1}\,\textrm{d}u \\ &=\int\left(\frac1{u-1}-\frac1{u+1}\right)\,\textrm{d}z \\ &=\ln\vert u-1\vert-\ln\vert u+1\vert+c \\ &=\ln\left\vert\frac{u-1}{u+1}\right\vert+c \\ &=\ln\left\vert\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right\vert+c \qquad \square \end{align} $$

Comment: 아래와 같이 방법1의 결과와 동일함을 보일 수 있다.

$$ \begin{align} I&=\ln\left\vert\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right\vert+c \\ &=-\ln\left\vert\frac{\textrm{e}^x+1}{\textrm{e}^x-1}\right\vert+c \\ &=-\ln\left\vert\frac{\textrm{e}^x+1}{\textrm{e}^x-1}\cdot\frac{\textrm{e}^x+1}{\textrm{e}^x+1}\right\vert+c \\ &=-\ln\left\vert\frac{\textrm{e}^{2x}+2\textrm{e}^x+1}{\textrm{e}^{2x}-1}\right\vert+c \\ &=-\ln\left\vert\frac{2\textrm{e}^x}{\textrm{e}^{2x}-1}+\frac{\textrm{e}^{2x}+1}{\textrm{e}^{2x}-1}\right\vert+c \\ &=-\ln\vert{\rm csch}\,x+\coth x\vert+c \qquad\square \end{align} $$

3. $u=\cosh x$ 치환과 부분분수(partial fractions)

$$ \int{\rm csch}\,x\,\textrm{d}x=\frac12\ln\left\vert\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}\right\vert+c $$

 

시컨트/세칸트의 적분에서 접한 아이작 배로우(Isaac Barrow, 1630-1677)의 방법을 쌍곡코시컨트의 적분에도 그대로 적용할 수 있다.

$$ \begin{align} \int{\rm csch}\,x&=\int\frac1{\sinh x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{\sinh x}{\sinh^2x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{\sinh x}{\cosh^2x-1}\,\textrm{d}x \qquad (u=\cosh x,\quad \textrm{d}u=\sinh x\,\textrm{d}x) \\ &=\int\frac{\textrm{d}u}{u^2-1} \\ &=\int\frac12\left(\frac1{u-1}-\frac1{u+1}\right) \\ &=\frac12\Big[\ln\vert u-1\vert-\ln\vert u+1\vert\Big]+c \\ &=\frac12\ln\left\vert\frac{u-1}{u+1}\right\vert+c \\ &=\frac12\ln\left\vert\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}\right\vert+c \qquad \square \end{align} $$

Comment: 아래와 같이 방법1과 동일함을 확인할 수 있다.

$$ \begin{align} I&=\frac12\ln\left\vert\frac{\cosh x-1}{\cosh x+1}\right\vert+c \\ &=-\frac12\ln\left\vert\frac{\cosh x+1}{\cosh x-1}\right\vert+c \\ &=-\frac12\ln\left\vert\frac{\cosh x+1}{\cosh x-1}\cdot\frac{\cosh x+1}{\cosh x+1}\right\vert+c \\ &=-\frac12\ln\left\vert\frac{(\cosh x+1)^2}{\cosh^2x-1}\right\vert+c \\ &=-\frac12\ln\left\vert\frac{(\cosh x+1)^2}{\sinh^2x}\right\vert+c \\ &=-\ln\left\vert\frac{\cosh x+1}{\sinh x}\right\vert+c \\ &=-\ln\vert{\rm csch}\,x+\coth x\vert+c \qquad\square \end{align} $$

4. $t=\tanh\frac{x}2$ 치환 (t-치환 또는 바이어슈트라스 치환)

$$ \int{\rm csch}\,x\,\textrm{d}x=\ln\left\vert\tanh\frac{x}2\right\vert+c $$

 

시컨트와 코시컨트 적분과 마찬가지로 t-치환 또는 바이어슈트라스 치환(Weierstrass substitution)을 사용할 수 있다. 삼각함수와 마찬가지로 t-치환의 핵심은 $t=\tanh\frac{x}2\,$을 사용하여 $\textrm{d}x$, $\cosh x\,$와 $\sinh x\,$를 모두 t를 사용한 분수(유리함수)로 나타낼 수 있다는 데 있다.

$$ \begin{align} \textrm{d}t&=\frac12\underbrace{{\rm sech}^2\frac{x}2}_{1-\tanh^2\frac{x}2}\,\textrm{d}x=\frac{1-\tanh^2\frac{x}2}2\,\textrm{d}x=\frac{1-t^2}2\,\textrm{d}x \\ \textrm{d}x&=\frac{2}{1-t^2}\,\textrm{d}t \\ \\ \cosh x&=\cosh^2\frac{x}2+\sinh^2\frac{x}2=\cosh^2\frac{x}2\left(1+\tanh^2\frac{x}2\right)=\frac{1+\tanh^2\frac{x}2}{{\rm sech}^2\frac{x}2}=\frac{1+\tanh^2\frac{x}2}{1-\tanh^2\frac{x}2}=\frac{1+t^2}{1-t^2} \\ \sinh x&=2\sinh\frac{x}2\cosh\frac{x}2=2\cosh^2\frac{x}2\tanh^2\frac{x}2=\frac{2\tanh^2\frac{x}2}{{\rm sech}^2\frac{x}2}=\frac{2\tanh^2\frac{x}2}{1-\tanh^2\frac{x}2}=\frac{2t}{1-t^2} \end{align} $$

이제 쌍곡코시컨트/쌍곡코세칸트 적분에 적용하면,

$$ \begin{align} \int{\rm csch}\,x\,\textrm{d}x &=\int\frac1{\sinh x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac1{\frac{2t}{1-t^2}}\frac{2}{1-t^2}\,\textrm{d}t \\ &=\int\frac1t\,\textrm{d}t \\ &=\ln\vert u\vert+c \\ &=\ln\left\vert\tanh\frac{x}2\right\vert+c \qquad \square \end{align} $$

Comment: 방법1과의 동일함은 아래와 같이 확인할 수 있다.

$$ \begin{align} I&=\ln\left\vert\tanh\frac{x}2\right\vert+c \\ &=\ln\left\vert\frac{\sinh\frac{x}2}{\cosh\frac{x}2}\right\vert+c \\ &=-\ln\left\vert\frac{\cosh^2\frac{x}2}{\sinh\frac{x}2\cosh\frac{x}2}\right\vert+c \\ &=-\ln\left\vert\frac{\frac12(1+\cosh x)}{\frac12\sinh x}\right\vert+c \\ &=-\ln\vert{\rm csch}\,x+\coth x\vert+c \qquad\square \end{align} $$

5. 부록: t-치환 / 바이어슈트라스 치환 $t=\tanh\frac{x}2$

t-치환으로 쌍곡시컨트(sech)와 쌍곡코시컨트(csch) 적분을 할 수 있지만, 이 두 적분만 하고 멈추기에 t-치환은 너무도 효율적인 도구다.

 

앞서 유도한 결과를 다시 요약해보자.

$$ \textrm{d}x=\frac{2}{1-t^2}\,\textrm{d}t, \qquad \cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}, \qquad \sin x=\frac{2t}{1-t^2} $$

 

또한 다른 삼각함수($\tan$, $\sec$, $\csc$, $\cot$)도 t를 사용해 나타낼 수 있다.

$$ \tanh x=\frac{2t}{1+t^2},\quad {\rm sech}\,x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad {\rm csch}\,x=\frac{1-t^2}{2t}, \quad \coth x=\frac{1+t^2}{2t} $$

 

이를 이용하면 $\cosh x$, $\sinh x$이 들어있는 모든 적분을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \int \textrm{f}(\cosh x,\sinh x)\,\textrm{d}x = \int \textrm{f}\left(\frac{1+t^2}{1-t^2},\frac{2t}{1-t^2}\right)\frac{2}{1-t^2}\,\textrm{d}t $$

 

이중 가장 대표적인 예는

$$\int\frac1{a\cosh x+b\sinh x+c}\,\textrm{d}x$$

로서 보다 자세한 내용은 t-치환/바이어슈트라스 치환(t-substitution, Weierstrass substitution)참조.