4. 쌍곡시컨트(sech x)의 적분법 | Integration of sech x

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0. $\int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x=\ln\vert{\rm sech}\,x+\tanh x\vert+c\,$?

첫 번째 시도로 시컨트의 적분에서처럼 자연로그를 시도할 수 있다. 그러나 삼각함수와 쌍곡선함수의 도함수에서 마이너스 차이로 인해 가능하지 않다는 것을 알게 된다. 이 차이점을 아는 것도 중요하므로 이 부분부터 살펴보자.

 

우리에게 필요한 도함수들은 다음과 같다.

$$\begin{align} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\tan x&=\sec^2x & \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\tanh x&={\rm sech}^2x \\ \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\sec x&=\sec x\tan x & \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}{\rm sech}\,x&=-{\rm sech}\,x\tanh x \end{align}$$

여기서 ${\rm sech}\,x\,$에 있는 마이너스 사인으로 인해 자연로그 형태가 나오지 않게 됨을 확인할 수 있다.

$$\begin{align} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}(\sec x+\tan x)&=\sec x\tan x+\sec^2x=\sec x(\sec x+\tan x) \\ \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}({\rm sech}\,x+\tanh x)&=-{\rm sech}\,x\tanh x+{\rm sech}^2x={\rm sech}\,x({\rm sech}\,x-\tanh x) \\ \int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x&=\int\frac{{\rm sech}\,x({\rm sech}\,x+\tanh x)}{{\rm sech}\,x+\tanh x}\,\textrm{d}x\ne\ln\vert{\rm sech}\,x+\tanh x\vert+c \end{align}$$

1. $u=\textrm{e}^x$ 치환적분

$$\int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right)+c$$

 

책에 가장 많이 등장하는 표준적인 방법은 쌍곡선함수(hyperbolic function)을 지수함수 정의로 나타내어 치환하는 방법이다.

$$\begin{align} \cosh x&=\frac{\textrm{e}^x+\textrm{e}^{-x}}{2},& \sinh x&=\frac{\textrm{e}^x-\textrm{e}^{-x}}{2} \\ {\rm sech}\,x&=\frac{2}{\textrm{e}^x+\textrm{e}^{-x}}=\frac{2\textrm{e}^x}{\textrm{e}^{2x}+1} \end{align}$$

이제 $u=\textrm{e}^x$ 치환을 사용하여 적분을 전개하면 ($\textrm{d}u=\textrm{e}^x\,\textrm{d}x=u\,\textrm{d}x$),

$$\begin{align} \int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x&=\int\frac{2\textrm{e}^x}{\textrm{e}^{2x}+1}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{2}{u^2+1}\,\textrm{d}u \qquad (u=\tan z,\quad \textrm{d}u=\sec^2z\,\textrm{d}z) \\ &=\int\frac{2}{\tan^2z+1}\cdot\sec^2z\,\textrm{d}z \\ &=\int2\,\textrm{d}z \\ &=2z+c \\ &=2\arctan u+c \\ &=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right)+c \qquad \square \end{align}$$

2. $u=\sinh x$ 치환과 부분분수(partial fractions)

$$\int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x=\arctan(\sinh x)+c$$

 

시컨트/세칸트의 적분에서 본 아이작 배로우(Isaac Barrow, 1630-1677)의 방법을 쌍곡선함수/하이퍼볼릭 함수에도 그대로 적용할 수 있다. 다만, 부분분수가 아니라 적분의 결과가 탄젠트의 역함수(inverse tangent, arctan)로 나타난다.

$$\begin{align} \int{\rm sech}\,x&=\int\frac1{\cosh x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{\cosh x}{\cosh^2x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{\cosh x}{1+\sinh^2x}\,\textrm{d}x \qquad (u=\sinh x,\quad \textrm{d}u=\cosh x\,\textrm{d}x) \\ &=\int\frac{\textrm{d}u}{1+u^2} \\ &=\int\frac{\sec^2z}{1+\tan^2z}\,\textrm{d}z \qquad (u=\tan z,\quad \textrm{d}u=\sec^2z\,\textrm{d}z) \\ &=\int \textrm{d}z \\ &=z+c \\ &=\arctan u+c \\ &=\arctan(\sinh x)+c \qquad \square \end{align}$$

Comment: 방법1과 동일함은 잠시 후 부록에서 확인하도록 하자.

3. $t=\tanh\frac{x}2$ 치환 (t-치환 또는 바이어슈트라스 치환)

$$\int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x=2\arctan\left(\tanh\frac{x}2\right)+c$$

 

시컨트와 코시컨트 적분과 마찬가지로 t-치환 또는 바이어슈트라스 치환(Weierstrass substitution)을 사용할 수 있다. 삼각함수와 마찬가지로 t-치환의 핵심은 $t=\tanh\frac{x}2\,$을 사용하여 $\textrm{d}x$, $\cosh x\,$와 $\sinh x\,$를 모두 t를 사용한 분수(유리함수)로 나타낼 수 있다는 데 있다.

$$\begin{align} \textrm{d}t&=\frac12\underbrace{{\rm sech}^2\frac{x}2}_{1-\tanh^2\frac{x}2}\,\textrm{d}x=\frac{1-\tanh^2\frac{x}2}2\,\textrm{d}x=\frac{1-t^2}2\,\textrm{d}x \\ \textrm{d}x&=\frac{2}{1-t^2}\,\textrm{d}t \\ \\ \cosh x&=\cosh^2\frac{x}2+\sinh^2\frac{x}2=\cosh^2\frac{x}2\left(1+\tanh^2\frac{x}2\right)=\frac{1+\tanh^2\frac{x}2}{{\rm sech}^2\frac{x}2}=\frac{1+\tanh^2\frac{x}2}{1-\tanh^2\frac{x}2}=\frac{1+t^2}{1-t^2} \\ \sinh x&=2\sinh\frac{x}2\cosh\frac{x}2=2\cosh^2\frac{x}2\tanh^2\frac{x}2=\frac{2\tanh^2\frac{x}2}{{\rm sech}^2\frac{x}2}=\frac{2\tanh^2\frac{x}2}{1-\tanh^2\frac{x}2}=\frac{2t}{1-t^2} \end{align}$$

이제 쌍곡시컨트/쌍곡세칸트 적분에 적용하면,

$$\begin{align} \int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x &=\int\frac1{\cosh x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac1{\frac{1+t^2}{1-t^2}}\frac{2}{1-t^2}\,\textrm{d}t \\ &=\int\frac2{1+t^2}\,\textrm{d}t \qquad (t=\tan z,\quad \textrm{d}t=\sec^2z\,\textrm{d}z)\\ &=\int\frac{2\sec^2z}{1+\tan^2z}\,\textrm{d}z \\ &=\int2\,\textrm{d}z \\ &= 2z+c \\ &=2\arctan t+c \\ &=2\arctan\left(\tanh\frac{x}2\right)+c \qquad \square \end{align}$$

Comment: 방법 1, 방법 2와의 동일함은 부록에서 확인할 수 있다.

부록 1: 세 결과의 동일함

앞서 예고한 것처럼 달리 보이는 세 결과의 동일함을 증명해보자. 세 결과를 다시 적어보면 다음과 같다. (계산을 단순히 하기 위해 적분상수는 잠시 무시하자.)

$$\begin{align} \theta&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right) \\ \phi&=\arctan(\sinh x)=\arctan\left(\frac{\textrm{e}^x-\textrm{e}^{-x}}{2}\right)=\arctan\left(\frac{\textrm{e}^{2x}-1}{2\textrm{e}^x}\right) \\ \psi&=2\arctan\left(\tanh\frac{x}2\right)=2\arctan\left(\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right) \end{align}$$

 

(1) $\phi=\psi$ (방법2 = 방법3)

 

2배각 공식(double angle formulae)을 이용하여 $\theta\,$와 $\psi\,$를 나타낼 수 있다. 

$$\begin{align} \tan\frac{\theta}{2}&=\textrm{e}^x &&\Rightarrow& \tan\theta&=\frac{2\tan\frac{\theta}2}{1-\tan^2\frac{\theta}2}=\frac{2\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^{2x}} \\ \tan\frac{\psi}2&=\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1} &&\Rightarrow& \tan\psi&=\frac{2\tan\frac{\psi}2}{1-\tan^2\frac{\psi}2}=\frac{2\cdot\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}}{\underbrace{\left(1-\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right)}_{\frac2{\textrm{e}^x+1}}\underbrace{\left(1+\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right)}_{\frac{2\textrm{e}^x}{\textrm{e}^x+1}}}=\frac{\textrm{e}^{2x}-1}{2\textrm{e}^x} \\ &&&\Rightarrow& \psi&=\arctan\left(\frac{\textrm{e}^{2x}-1}{2\textrm{e}^x}\right)=\phi \qquad \square \end{align}$$

따라서 $\phi\,$와 $\psi\,$는 같은 표현임을 알 수 있다.

 

(2) $\theta=\phi$ (방법1 = 방법2)

 

반면 $\theta\,$는 $\phi\,$와 역수의 관계를 가지고, 음수 부호가 다르다는 것을 알 수 있다. 이제 적분상수가 들어올 차례다. 즉, $-\cot\theta\,$와 $\tan\phi\,$가 동일하므로, 적분상수를 적절히 변환하면 같은 표현을 얻을 수 있다. 여기서 약간의 추측(guesswork)이 필요한데, $\theta\,$의 적분상수로 $-\frac{\pi}2$를 더해 다음과 같이 표현해보자.

$$\begin{align} \theta&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right)-\frac{\pi}2 \\ \theta+\frac{\pi}2&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right) \\ \tan\left(\frac{\theta}2+\frac{\pi}4\right)&=\frac{1+\tan\frac{\theta}2}{1-\tan\frac{\theta}2}=\textrm{e}^x \\ \Rightarrow\quad \tan\frac{\theta}2&=\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1} \\ \Rightarrow\quad \tan\theta&=\frac{2\tan\frac{\theta}2}{1-\tan^2\frac{\theta}2}=\frac{2\cdot\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}}{\underbrace{\left(1-\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right)}_{\frac2{\textrm{e}^x+1}}\underbrace{\left(1+\frac{\textrm{e}^x-1}{\textrm{e}^x+1}\right)}_{\frac{2\textrm{e}^x}{\textrm{e}^x+1}}}=\frac{\textrm{e}^{2x}-1}{2\textrm{e}^x}=\phi \qquad \square \end{align}$$

Comment: 여기서 추측(guesswork)이라고 했는데, 추측 과정을 적어보면 다음과 같다. 우선 $\theta\,$에 적분상수 $-c$를 더한다고 해보자.

$$\begin{align} \theta&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right)-c \\ \frac{\theta+c}2&=\arctan\left(\textrm{e}^x\right) \\ \tan\left(\frac{\theta+c}{2}\right)&=\textrm{e}^x \end{align}$$

이제 남은 건 c값을 찾아내는 일이다. 앞선 계산을 통해 $\tan\phi=-\cot\theta\,$의 관계를 알아냈다. 아직 $\phi\,$와 $\theta\,$의 정확한 관계는 모르기 때문에 $\tan\phi=-\cot\alpha\,$라고 가정하고 $\alpha\,$와 $\theta\,$를 관계지어보자.

$$\begin{align} \tan\phi=-\cot\alpha&=\frac{\textrm{e}^{2x}-1}{2\textrm{e}^x} \\ \Rightarrow\quad \tan\alpha&=\frac{2\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^{2x}}=\frac{2\tan\frac{\alpha}2}{1-\tan^2\frac{\alpha}2} \\ \Rightarrow\quad \tan\frac{\alpha}2&=\textrm{e}^x\end{align}$$

이제 다음 관계들 중

$$\begin{align} \tan\left(x\pm\frac{\pi}2\right)&=-\cot x \\ \tan\left(x\pm\frac{3\pi}2\right)&=-\cot x \\ \tan\left(x-\frac{\pi}2+n\pi\right)&=-\cot x,\quad n\in\mathbb Z \end{align}$$

가장 일반적인 세 번째 관계를 이용하여 $\theta\,$와 $\alpha\,$를 연결지을 수 있다.

$$\begin{align} \textrm{e}^x=\tan\frac{\alpha}2&=\tan\left(\frac{\theta+c}2\right) \\ \Rightarrow\quad \frac{\alpha}2&=\frac{\theta+c}2+n\pi,\quad n\in\mathbb Z \\ \Rightarrow\quad \alpha&=\theta+c+2n\pi,\quad n\in\mathbb Z \end{align}$$

이제 $\tan\alpha=-\cos\phi\,$라는 점을 이용하여, 즉 탄젠트 함수와 $\alpha\,$를 통해 $\theta\,$와 $\phi\,$를 연결지으면

$$\tan\alpha=\tan(\theta+c)=-\cot\phi=\tan\left(\phi-\frac{\pi}2+n\pi\right),\quad n\in\mathbb Z$$

그리고 c값을 적절히 선택하면 $\theta=\phi\,$를 등치시킬 수 있다.

$$c=n\pi-\frac{\pi}2=\left(n-\frac12\right)\pi,\quad n\in\mathbb Z$$

앞서 우리는 이 중 가장 간단한 $n=1$, 즉 $c=\frac{\pi}2\,$를 선택한 것이었다.

 

Cross-check: 계산 확인을 위해 $c=-\frac{\pi}2\,$의 경우에도 $\theta=\phi\,$를 얻는지 살펴보자.

$$\begin{align} \theta&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right)+\frac{\pi}2 \\ \theta-\frac{\pi}2&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right) \\ \tan\left(\frac{\theta}2-\frac{\pi}4\right)&=\frac{\tan\frac{\theta}2-1}{1+\tan\frac{\theta}2}=\textrm{e}^x \\ \Rightarrow\quad \tan\frac{\theta}2&=\frac{1+\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^x} \\ \Rightarrow\quad \tan\theta&=\frac{2\tan\frac{\theta}2}{1-\tan^2\frac{\theta}2}=\frac{2\cdot\frac{1+\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^x}}{\underbrace{\left(1-\frac{1+\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^x}\right)}_{\frac{-2\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^x}}\underbrace{\left(1+\frac{1+\textrm{e}^x}{1-\textrm{e}^x}\right)}_{\frac{2}{1-\textrm{e}^x}}}=\frac{\textrm{e}^{2x}-1}{2\textrm{e}^x}=\phi \qquad \square \end{align}$$

이제 세 결과를 한 줄로 요약하면 (이제 적분상수 c는 모두 같은 값이라고 생각할 수 있다),
$$\begin{align} \int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x&=2\arctan\left(\textrm{e}^x\right)+\left(n-\frac12\right)\pi+c \\ &=\arctan(\sinh x)+c \\ &=2\arctan\left(\tanh\frac{\pi}2\right)+c \end{align}$$

 

부록2: t-치환 / 바이어슈트라스 치환 $t=\tanh\frac{x}2$

t-치환으로 쌍곡시컨트(sech)와 쌍곡코시컨트(csch) 적분을 할 수 있지만, 이 두 적분만 하고 멈추기에 t-치환은 너무도 효율적인 도구다.

 

앞서 유도한 결과를 다시 요약해보자.

$$\textrm{d}x=\frac{2}{1-t^2}\,\textrm{d}t, \qquad \cosh x=\frac{1+t^2}{1-t^2}, \qquad \sin x=\frac{2t}{1-t^2}$$

 

또한 다른 삼각함수($\tan$, $\sec$, $\csc$, $\cot$)도 t를 사용해 나타낼 수 있다.

$$\tanh x=\frac{2t}{1+t^2},\quad {\rm sech}\,x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \quad {\rm csch}\,x=\frac{1-t^2}{2t}, \quad \coth x=\frac{1+t^2}{2t}$$

 

이를 이용하면 $\cosh x$, $\sinh x$이 들어있는 모든 적분을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$\int \textrm{f}(\cosh x,\sinh x)\,\textrm{d}x = \int \textrm{f}\left(\frac{1+t^2}{1-t^2},\frac{2t}{1-t^2}\right)\frac{2}{1-t^2}\,\textrm{d}t$$

 

이중 가장 대표적인 예는

$$\int\frac1{a\cosh x+b\sinh x+c}\,\textrm{d}x$$

로서 보다 자세한 내용은 t-치환/바이어슈트라스 치환(t-substitution, Weierstrass substitution)참조.