3. 코시컨트/코세칸트(cosec x, csc x)의 적분법 | Integration of cosec x

코시컨트의 적분은 시컨트와 매우 유사하다. (시컨트 적분의 역사적 배경은 이곳 참조.)

 

이 글에서는 코시컨트/코세칸트의 적분을 4가지 방법으로 유도해보자.

$$ \begin{align} \int \csc x \, \textrm{d}x &= - \ln \vert \csc x + \cot x \vert + c \\ &= \frac12 \ln \left\vert \frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right\vert + c \\ &= \ln \left\vert \tan \frac{\pi}{2}\right\vert + c \end{align} $$

1. $u=\csc x+\cot x$ 치환적분

$$ \int\csc x\,\textrm{d}x=-\ln\vert\csc x+\cot x\vert+c $$

 

책에 가장 많이 등장하는 표준적인 방법이다. 그러나 결과를 알기에 이 방법을 떠올릴 수 있었던 것이 아닐까 하는 인상이 다분하기에 공식을 '유도(derive)'한다는 인상은 그만큼 적다.

 

이 방법은 삼각함수의 미적분 중 다음 두 가지 결과를 사용한다.

$$ \begin{align} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\csc x&=-\csc x\cot x &&\Rightarrow& \int\csc x\cot x\,\textrm{d}x&=-\csc x+c \\ \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\cot x&=-\csc^2x &&\Rightarrow& \int\csc^2x\,\textrm{d}x&=-\cot x+c \end{align} $$

이제 적분을 전개하면,

$$ \begin{align} I&=\int\csc x\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{\csc x(\csc x+\cot x)}{\csc x+\cot x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{\csc^2x+\csc x\cot x}{\csc x+\cot x}\,\textrm{d}x \end{align} $$

분자가 분모의 도함수라는 것이 보이면 바로 자연로그로 적분 가능하고, $u=\csc x+\cot x$로 치환하면 이 과정을 자세히 볼 수 있다.

$$ \begin{align} u&=\csc x+\cot x \\ \textrm{d}u&=-\csc x\cot x-\csc^2x \end{align}$$

 

$$ \begin{align} \Rightarrow \quad I&=\int\frac{\csc^2x+\csc x\cot x}{\csc x+\cot x}\,\textrm{d}x \\ &=-\int\frac{\textrm{d}u}{u} \\ &=-\ln\vert u\vert+c \\ &=-\ln\vert\csc x+\cot x\vert+c \qquad \square \end{align} $$

2. $u=\cos x$ 치환과 부분분수(partial fractions)

$$ \int\csc x\,\textrm{d}x=\frac12\ln\left\vert\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right\vert+c $$

 

코시컨트의 적분에도 시컨트 적분에 이용된 아이작 배로우(Isaac Barrow, 1630-1677) 방법을 적용할 수 있다. 시컨트와 마찬가지로 부분분수(partial fractions)가 등장한다.

$$ \begin{align} \int\csc x&=\int\frac1{\sin x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{\sin x}{\sin^2x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac{\sin x}{1-\cos^2x}\,\textrm{d}x \qquad (u=\cos x,\quad \textrm{d}u=-\sin x\,\textrm{d}x) \\ &=-\int\frac{\textrm{d}u}{1-u^2} \\ &=-\int\frac1{(1+u)(1-u)}\,\textrm{d}u \\ &=-\int\frac12\left(\frac1{1+u}+\frac1{1-u}\right)\,\textrm{d}u \qquad (부분분수의 활용) \\ &=-\frac12\Big[\ln\vert1+u\vert-\ln\vert1-u\vert\Big]+c \\ &=-\frac12\ln\left\vert\frac{1+u}{1-u}\right\vert+c \\ &=-\frac12\ln\left\vert\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\right\vert+c \\ &=\frac12\ln\left\vert\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right\vert+c \qquad \square \end{align} $$

Check: 나아가 앞서 방법1에서 도출한 결과와 동일함도 확인할 수 있다.

$$ \begin{align} I&=-\frac12\ln\left\vert\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\right\vert+c \\ &=-\frac12\ln\left\vert\frac{1+\cos x}{1-\cos x}\cdot\frac{1+\cos x}{1+\cos x}\right\vert+c \\ &=-\frac12\ln\left\vert\frac{(1+\cos x)^2}{1-\cos^2x}\right\vert+c \\ &=-\frac12\ln\left\vert\frac{(1+\cos x)^2}{(\sin x)^2}\right\vert+c \\ &=-\ln\left\vert\frac{1+\cos x}{\sin x}\right\vert+c \\ &=-\ln\vert\csc x+\cot x\vert+c \qquad \square \end{align} $$

3. $t=\tan\frac{x}2$ 치환 (t-치환 또는 바이어슈트라스 치환)

$$ \int\csc x\,\textrm{d}x=\ln\left\vert\tan\frac{x}2\right\vert+c
$$

 

시컨트와 코시컨트 적분은 t-치환 또는 바이어슈트라스 치환(Weierstrass substitution)의 대표적인 예이기도 하다. t-치환의 핵심은 $t=\tan\frac{x}2\,$을 사용하여 $\textrm{d}x$, $\cos x\,$와 $\sin x\,$를 모두 t를 사용한 분수(유리함수)로 나타낼 수 있다는 데 있다.

$$ \begin{align} && \textrm{d}t&=\frac12\underbrace{\sec^2\frac{x}2}_{1+\tan^2\frac{x}2}\,\textrm{d}x=\frac{1+\tan^2\frac{x}2}2\,\textrm{d}x=\frac{1+t^2}2\,\textrm{d}x \\ &\Rightarrow& \textrm{d}x&=\frac{2}{1+t^2}\,\textrm{d}t \\ \\ && \cos x&=\cos^2\frac{x}2-\sin^2\frac{x}2=\cos^2\frac{x}2\left(1-\tan^2\frac{x}2\right)=\frac{1-\tan^2\frac{x}2}{\sec^2\frac{x}2}=\frac{1-\tan^2\frac{x}2}{1+\tan^2\frac{x}2}=\frac{1-t^2}{1+t^2} \\ && \sin x&=2\sin\frac{x}2\cos\frac{x}2=2\cos^2\frac{x}2\tan\frac{x}2=\frac{2\tan\frac{x}2}{\sec^2\frac{x}2}=\frac{2\tan\frac{x}2}{1+\tan^2\frac{x}2}=\frac{2t}{1+t^2} \end{align} $$

이제 코시컨트/코세칸트 적분에 적용하면,

$$ \begin{align} \int\csc x\,\textrm{d}x &=\int\frac1{\sin x}\,\textrm{d}x \\ &=\int\frac1{\frac{2t}{1+t^2}}\frac{2}{1+t^2}\,\textrm{d}t \\ &=\int\frac1{t}\,\textrm{d}t \\ &=\ln\left\vert\tan\frac{x}2\right\vert+c \qquad \square \end{align} $$

Check 1: 2배각 공식(double angle formulae)를 사용하여 방법3로부터 방법2의 결과를 도출할 수 있다.

$$ \begin{align} I&=\ln\left\vert\tan\frac{x}2\right\vert+c \\ &= \ln\left\vert\frac{\sin\frac{x}2}{\cos\frac{x}2}\right\vert+c \\ &=\frac12\ln\left\vert\frac{\sin^2\frac{x}2}{\cos^2\frac{x}2}\right\vert+c \\ &=\frac12\ln\left\vert\frac{\frac{1-\cos x}2}{\frac{1+\cos x}2}\right\vert+c \\ &=\frac12\ln\left\vert\frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right\vert+c \qquad \square \end{align} $$

Check 2: 다음과 같은 유도 과정도 가능하다.

$$ \begin{align} \csc x&=\frac1{\sin x} \\ &=\frac1{2\sin\frac{x}2\cos\frac{x}2} \\ &=\frac1{2\tan\frac{x}2\cos^2\frac{x}2} \\ &=\frac{\frac12\sec^2\frac{x}2}{\tan\frac{x}2} \\ \Rightarrow\quad \int\csc x\,\textrm{d}x&=\int\frac{\frac12\sec^2\frac{x}2}{\tan\frac{x}2}\,\textrm{d}x=\ln\left\vert\tan\frac{x}2\right\vert+c \qquad \square \end{align} $$

4. 가장 오래된 결과

$$ \int\csc x\,\textrm{d}x=\ln\left\vert\tan \frac{x}2 \right\vert+c $$

 

시컨트의 적분에서 역사적으로 가장 오래된 다음 결과를 언급했다. sin과 cos의 관계를 이용하여 코시컨트 버전도 찾을 수 있다.

$$ \begin{align} \int\sec x\,\textrm{d}x&=\ln\left\vert\tan\left(\frac{x}2+\frac{\pi}4\right)\right\vert+c \\ \\ \csc x&=\frac1{\sin x}=\frac1{\cos\left(x-\frac{\pi}2\right)}=\sec\left(x-\frac{\pi}2\right) \\ \\ \Rightarrow\quad \int\csc x\,\textrm{d}x&=\int\sec\left(x-\frac{\pi}2\right)\,\textrm{d}x=\ln\left\vert \tan\left[\frac12\left(x-\frac{\pi}{2}\right)+\frac{\pi}{4}\right] \right\right = \ln\left\vert\tan\frac{x}2\right\vert+c\end{align} $$

따라서 방법3과 동일한 결과를 얻게 된다.

5. 부록: t-치환 / 바이어슈트라스 치환 $t=\tan\frac{x}2$

t-치환으로 시컨트와 코시컨트 적분을 할 수 있지만, 이 두 적분만 하고 멈추기에 t-치환은 너무도 효율적인 도구다.

 

앞서 유도한 결과를 다시 요약해보자.

$$ \textrm{d}x=\frac{2}{1+t^2}\,\textrm{d}t, \qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2}, \qquad \sin x=\frac{2t}{1+t^2} $$

 

또한 다른 삼각함수($\tan$, $\sec$, $\csc$, $\cot$)도 t를 사용해 나타낼 수 있다.

$$ \tan x=\frac{2t}{1-t^2},\quad \sec x=\frac{1+t^2}{1-t^2}, \quad \csc x=\frac{1+t^2}{2t}, \quad \cot x=\frac{1-t^2}{2t} $$

 

이를 이용하면 $\cos x$, $\sin x$이 들어있는 모든 적분을 다음과 같이 쓸 수 있다.

$$ \int \textrm{f}(\cos x,\sin x)\,\textrm{d}x = \int \textrm{f}\left(\frac{1-t^2}{1+t^2},\frac{2t}{1+t^2}\right)\frac{2}{1+t^2}\,\textrm{d}t $$

 

이중 가장 대표적인 예는

$$\int\frac1{a\cos x+b\sin x+c}\,\textrm{d}x$$

로서 보다 자세한 내용은 t-치환/바이어슈트라스 치환(t-substitution, Weierstrass substitution)참조.