16. A-level/GCSE 수학 공부팁 3 - 이스터 방학과 Past papers

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Table of contents

1. 교과서를 충분히 소화했는가
2. Past papers 활용법 1 - 현재 이해도와 실력 점검
3. Past papers 활용법 2 - 미리 눈으로 익히기
4. Past papers 활용법 3 - 복습의 구체적인 예시
5. Past papers 조심하기 1 - 지나친 의존은 금물
6. Past papers 조심하기 2 - Past paper가 알려주지 않는 것
7. 이스터 방학 이후의 시간 - 생각보다 빠르게 흘러간다

 

이스터 방학이 다가오면 학교와 친구들 사이에서 past papers(기출문제) 이야기가 많이 나옵니다. 학교에서도 대개 과목당 1주일에 적어도 1~2개 가량의 past papers를 시도할 것을 권하지요.

 

여느 시험과 마찬가지로 기출문제는 시험에 어떤 주제들이 자주 등장하는지, 시험 문제의 유형/스타일은 어떠한지 파악하는 데 많은 도움이 됩니다. 다만, past paper가 모든 것을 해결해주지는 않기에 past paper에 지나치게 의존하기 보다는 현재 자신의 상황에 맞추어 교과서와 past papers를 균형있게 활용할 필요가 있습니다.

 

(이 글은 A-level 수학을 중점에 두고 작성했지만, past papers의 일반적인 활용법을 다루는 만큼 다른 과목 및 GCSE에도 적용할 수 있습니다.)

1. 교과서를 충분히 소화했는가

'수학 공부팁 1'과 '수학 공부팁 2'에서 이해가 부족한 내용이 있으면 교과서로 돌아가는 방법이 가장 좋다는 이야기를 했었지요. 이는 시험 기간에 더욱 중요해지는 부분입니다. 조금 돌아가는 듯 느껴지더라도 기초를 튼튼하게 다지는 것이 가장 빠른 길입니다.

 

기본적인 내용을 소화한 상태에서 내가 이해한 내용을 점검하고, 문제 유형에 적응하는 데는 past paper가 아주 유용합니다. 반면, 정작 본인이 공부해야 하는 건 교과서 내용임에도 불구하고 주변에서 다들 past papers를 보니까 덩달아 past paper에 함몰되어 시간을 낭비하는 건 아닌지 잘 살펴야 합니다.

2. Past papers 활용법 1 - 현재 이해도와 실력 점검

교과서에 있는 내용을 대부분 이해하고 교과서에 실린 문제들을 푸는 데 큰 어려움이 없으면 past papers를 시도하기에 알맞은 단계입니다. 이 단계에서도 막상 past papers를 풀다 보면 막힐 때가 있고, 그런 과정을 통해 시험 전 세부적인 사항을 마지막으로 보완하게 됩니다. 이스터 방학을 전후로 이 단계에 이른다면 최상위권이라고 할 수 있습니다.

 

또다른 방법으로, past paper 문제들을 읽으면서 거의 대부분 머릿속에서 푸는 방법이 떠오르고 세부적인 계산만 하면 답이 나올 것 같다고 판단되면, 직접 past papers 문제들을 풀어볼 단계입니다. 이때 풀이 과정을 통해 머릿속에 떠오른 아이디어들이 맞는지, 세부적인 계산값이 잘 나오는지를 확인합니다.

3. Past papers 활용법 2 - 미리 눈으로 익히기

위에 언급한 두 번째 방법은 평소에도 활용할 수 있습니다. 학기 또는 학년 초에 past papers에 있는 문제들을 눈여겨 보면 당장은 풀 수 없는 문제라고 하더라도 앞으로 배울 내용에 대한 힌트를 얻을 수 있고, 실제 관련 내용을 배울 때 앞서 눈으로 익힌 기억이 있기 때문에 좋은 자극이 됩니다. 따라서 두 번째 학기 후반이나 이스터 방학이 되면 꼭 문제를 다 풀지 않더라도 past papers 문제들을 규칙적으로 읽어보기를 권합니다.

4. Past papers 활용법 3 - 복습의 구체적인 예시

한 예로, 기출 문제를 풀다가 P2 Implicit differentiation에 관한 문제에서 막혔다면, 우선 이론을 이해하지 못하는 것인지, 내용은 이해하지만 실수를 한 것인지 여부를 판단해야 합니다. 만약 유사한 문제를 더 풀어보고 다른 문제들은 잘 풀린다면 후자라고 할 수 있으니 경험치를 쌓는 연습이 필요합니다. 반면 반복해서 틀리는 내용이 있다면 전자일 가능성이 크고, 이 경우에는 교과서로 돌아가 관련 챕터를 다시 훑어보는 것이 좋습니다.

 

교과서 관련 챕터라고 해도 대개 한두 개의 섹션이기 때문에, 교과서에 실려있는 예시와 exercise를 통틀어 1~20 문제에 해당하는 분량입니다. Implicit differentiation의 경우 Edexcel을 기준으로 Pure maths Year 2 교과서의 섹션 9.8에 소개되어 있고, 3개의 예시와 11개의 문제로 구성되어 있습니다.

 

이는 복습 단계에서 하루 안에 공부할 수 있는 내용이기 때문에, 교과서에 있는 예시들과 exercise 문제들을 빠짐없이 풀어서 놓친 내용을 채우는 것이 좋습니다. 또한 예시에서 exercise로 넘어가는 과정에서 대개 난이도가 올라가기 때문에,  어느 단계에서 어려움이 발생하는지도 확인할 수 있습니다.

 

이처럼 구체적인 내용을 채워가는 과정 속에서 실력이 향상됩니다. 이러한 과정이 없으면 같은 문제가 반복될 가능성이 크고, 만약 책상에 앉아 있는 시간은 긴 편인데 실력 향상이 이뤄지지 않고 있다면 이해가 부족한 내용을 제대로 보완하고 있는지 확인할 필요가 있습니다.

5. Past papers 조심하기 1 - 지나친 의존은 금물

Past papers에 의존하지 말라는 건 '지금까지 A, B, C에 대한 문제들이 자주 나왔으니 A, B, C에 대한 내용만 공부하자' 이런 계획을 지양해야 함을 뜻합니다. 지금까지 A, B, C에 대한 문제들이 자주 나왔다는 건 그만큼 A, B, C가 중요하다는 것을 뜻하고, 그만큼 앞으로 비슷한 주제가 나올 확률이 높음을 말하는 건 사실입니다. 그럼에도 불구하고 앞으로 다가올 시험에서 D, E에 대한 문제가 나오지 말라는 법이 없기 때문에, 이는 시간에 쫓길 때 차선책으로 택하는 cost-effective한 방법일 순 있지만 장기적으로 적절한 학습법은 아닙니다.

 

또한 이처럼 선택적으로 공부한 내용은 단기 기억으로 시험 때 반짝 효과를 기대할 수는 있지만, 배운 내용이 오래 머물지 않을 가능성이 큽니다. (시험 때 벼락치기한 내용들이 오래 기억되지 않는 것과 같은 현상이라고 봅니다.) 또한 상위권 성적 A/A*를 목표로 한다면 이처럼 선택적 학습보다는 시간 계획을 넉넉히 하여 내용 전체를 포괄하는 학습이 필요합니다. 

6. Past papers 조심하기 2 - Past paper가 알려주지 않는 것

Past papers에서 특정 문제를 틀렸다는 건 내가 '적어도' 그 부분을 모른다는 걸 의미하지, 내가 '그 부분만' 모른다는 걸 뜻하지 않습니다. 이 둘을 구분하지 않으면 'past papers를 풀 때는 성적이 잘 나왔는데 실제 시험은 잘 못봤다'는 경우가 발생합니다.

 

Past papers는 어디까지나 점검용으로 사용하는 것이 좋고, 교과서의 모든 내용을 커버하는 게 아니기 때문에 시험 준비 대체제로 활용하는 데는 무리가 있습니다. 수학적으로 말하면, 기출 문제를 풀다가 모르는 내용이 발견되어 복습하는 건 좋은 성적을 위한 '필요 조건'이지 '충분 조건'이 아닙니다.

7. 이스터 방학 이후의 시간 - 생각보다 빠르게 흘러간다

이스터 방학이 시작되면 이제 과목 전체를 복습해야 하는 시점입니다. 시험은 대개 5월 중순부터 5~6주에 걸쳐 치뤄지고, 일단 첫 시험이 시작되고 나면 시험과 시험 사이에 주어지는 며칠의 기간은 바로 그 다음 시험에 집중하는 기간이기 때문에 실제 나의 스케줄에 맞춘 복습 기간은 첫 시험이 시작되기 일주일 전에 마무리된다고 보는 게 좋습니다. 예를 들어,

 

5월 15일: Chemistry paper 1

5월 21일: Biology paper 1

5월 26일: Chemistry paper 2

6월 1일: Biology paper 2

6월 7일: Maths paper 1

6월 14일: Maths paper 2

 

시험 일정이 이와 같다면, 5월 10~14일은 Chemistry paper 1에 집중하고, 5월 16~20일은 바로 그 다음 시험인 Biology paper 1을 공부하는 데 할애하기 마련입니다. 마찬가지로 5월 22~25일은 바로 그 다음 시험인 Chemistry paper 2를 공부하는 데 할애하기 마련이고, 그 이후의 시간도 마찬가지로 운용됩니다.

 

이처럼 5~6주의 시험 기간이 연속적으로 진행되기 때문에 첫 시험이 시작되기 1주일 전에는 각 과목에 대한 전반적인 복습이 마무리되어야 합니다. 즉, 시험 기간 사이 사이에 주어지는 며칠의 기간은 새로운 내용을 배우는 '학습 기간'이라기 보다 이미 배운 내용을 상기시키는 '최종 복습 기간'에 가깝습니다.

 

이러한 이유로 이스터 방학이 시작되는 3월 말 무렵에는 시험 때까지 2개월 정도가 남았다고 생각하기 쉽지만, 실제로는 한달 반 정도가 지나면 시험 기간에 돌입하게 되니, 이를 감안하여 계획 세우기를 권합니다.

 

참고로 이 포스팅은 학생들을 지도하며 이스터 방학 직전에 학생들에게 보낸 아래 이메일 내용에 기초하였습니다.

 

Past papers:

 

The idea is that, once you cover the syllabus reasonably well, you use past papers to fill in small gaps in understanding and to get used to the exam-style questions.

 

As one looks through the past exam questions, if one thinks that he/she can solve most of them with only a few small details to be worked out exactly, it is about the right time to actually sit down and try them. If on the other hand one sees parts where he/she has no idea what the question is talking about, it is probably an indication that one should go back to the relevant section/chapter in the textbook and revise the topic more thoroughly before trying the question.

 

Having said that, this does not mean that you should not try past papers until you cover the entire syllabus. In fact, as you revise the material with the notes and textbooks, you are encouraged to read through the past exam questions or even try some as you would be able to get some feeling for which topics appear more frequently than others. This will act as a good motivation when you come to revise the relevant parts with the notes/textbooks.

 

On the other hand, some people use past papers to learn the materials and, although this may be cost-effective in short terms as one would be able to collect the questions that tend to come up frequently in the exams and focus on them, it would not be the most thorough approach since the next exam may change some of the topics and/or its style slightly. So, one should be aware that relying on past papers too much has this risk.

 

Between the textbook and the past papers, the best approach is to mix both in the sense that the ground should always be the textbooks and one gets hints for relative importance between different topics from past papers. Once you reach the stage where you feel confident in the materials and questions in the textbooks, the more past exam questions you try the more beneficial it will be as it will deepen your knowledge.

 

For us, as we cover more materials, more questions from past papers will become doable. So I hope the situation would be more like 'textbook work : past paper = 2:1' in the beginning then gets transitioned to '1:2' or even closer to '0 : 3' as time goes by, if this makes sense.

 

For the topics yet to be covered, you are still encouraged to read through the questions and get used to them on a regular basis even though you may not fully attempt to solve them. If you could identify the topic/chapter for those, it would be even better as you would be able to go back to them when we cover the relevant material.

 

Here is an example of revision using past papers:

• If you bump into a difficulty with a question on 'P2 Integration by parts', you are advised to to go back to the textbook and try the examples and exercise questions for the relevant section - it is typically a total of about 10 questions for a given topic.
• Once you understand the material and finish the questions in the textbook, you try again the question that you got stuck in the first place + search for integration problems in a few other past papers.
• If you can solve all, it probably means your 'P2 Integration' is now in good shape.
• If not, you can revisit the whole chapter on 'P2 Integration' until you can confidently solve the integration questions from past papers.
• This is what I mean by 'filling in the gaps in your understanding'.
• When trying past papers, we should always keep in mind that if we can't solve a problem it means that we need to revise the relevant topic, but it does not mean that it is the 'only' topic we need to revise. (i.e. Resolving it is a necessary condition for a good result but may not be a sufficient condition.)