12. A-level 수학 공부팁 2

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이번 포스팅에서는 A-level 타임라인과 함께 수학 공부 점검 시기를 살펴보겠습니다.

 

전체 타임라인

 

한 해의 일정을 보면, 크게 아래와 같이 12개의 시기로 나눌 수 있습니다.

 

1. 1학기 전반부
2. 1학기 하프텀 방학
3. 1학기 후반부
4. 크리스마스 겨울 방학
5. 2학기 전반부
6. 2학기 하프텀 방학
7. 2기 후반부
8. 이스터 방학
9. 3학기 전반부
10. 3학기 하프텀 방학
11. 3학기 후반부
12. 여름방학

 

학기 중에는 학교 일정만으로도 바쁘기 때문에 ‘건강 유지 + 학교 일정 잘 따라가기’에 가장 큰 비중을 둡니다.

 

사실 A-level을 통틀어 2년 동안 학교 진도만 잘 따라가고, 학교에서 배우는 내용만 제때 잘 소화해도 수월하게 대학 진학이 이루어집니다. 즉, 공부에 어려움을 겪는다는 건 현재 학교에서 배우는 내용을 잘 따라가지 못한다는 걸 뜻하고, 이는 어느 시점부터 놓치거나 이해가 안 되는 내용이 쌓이기 시작했다는 걸 의미합니다. 이런 경우에는 내가 어디부터 놓쳤는지에 대한 점검부터 이루어져야 하고, 중간에 있는 방학들을 잘 활용하여 그 간극을 메워야 합니다.

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A-level 수학 위주로 타임 라인을 살펴보겠습니다.

 

12학년 1학기

 

A-level 수학 교과서의 첫 5단원은 대부분 GCSE 복습 + 소량의 새로운 내용입니다. 그리고 A-level 수학을 선택한 학생들 대부분 GCSE에서 수학을 잘 했던 아이들이기 때문에 A-level을 대개 수월하게 시작하는 편입니다. 전반적으로 이 시기에는 아이가 도움을 호소하지 않는다면 혼자서 시도할 수 있도록 지켜보는 것이 좋습니다. 그리고 첫 학기에 배운 내용 중 완전히 소화가 되지 않은 내용이 있다면 2~3주에 걸친 크리스마스 방학을 보충의 기회로 삼는 게 좋습니다.

 

12학년 2학기: 크리티컬 타임

 

1학기 후반이나 늦어도 2학기에 접어들면 원(circles), 이항정리(binomial expansion), 삼각함수(trigonometry), 미적분, 지수와 로그 등의 토픽들이 소개되는데, 이때부터 A-level 수학이 본격적으로 시작된다고 볼 수 있습니다. 12학년 후반부에 대한 기초가 이후 행보에 큰 영향을 미칩니다.

 

가령, '이항정리'는 미적분의 출발점이기도 하고, 13학년에 일반화된 이항정리가 다시 등장합니다. 따라서 12학년 이항정리에 대한 이해가 부족하면 13학년 내용이 더 어렵게 다가옵니다.

 

'삼각함수'는 이제 각도가 0-90도를 벗어나 90도보다 큰 각들이 등장합니다. 그리고 이는 생각해야 하는 과제를 남깁니다. GCSE까지는 주로 직각삼각형을 그려서 삼각함수에 대해 생각했습니다. 그런데 각도가 90도가 넘어가면 더이상 직각삼각형을 그릴 수 없게 됩니다. 삼각형의 내각의 합은 180도인데, 직각이 이미 90도를 차지하기 때문에 남은 두 각 중 하나가 90도가 넘으면 세 번째 각도는 음수가 나와야 하기 때문입니다. 생각이 여기에 미치면, 이제는 직각삼각형을 내려놓고 조금 더 일반화된 방식으로 접근해야 한다는 걸 깨닫게 됩니다.

 

이처럼 지금까지 배운 방식을 더 확장할 수 있는지, 아니면 보다 일반화된 방식을 채택해야 하는지 등에 대한 이해가 있어야 새롭게 배우는 내용을 '왜' 배우는지 이해할 수 있습니다. 그렇게 되면 새로 배우는 조각들이 차츰 하나의 그림으로 완성되고, 그만큼 수학에 대한 시야가 넓어집니다. 이 작업은 12학년 2학기부터 신경써야 하는 부분입니다.

 

12학년 이스터 방학 미리보기

 

이스터 방학이 시작되면 시험이 한 두 달 앞으로 다가오고, 학생들은 본격적으로 리비젼 모드에 돌입하게 됩니다. 12학년 학생들도 이때 치뤄지는 시험으로 A-level prediction을 받기 때문에 긴장감은 13학년 못지 않습니다.

 

흔히 ‘A-level 2년의 기간은 고2, 고3이 아니라 고3으로 보내는 2년에 가깝다’고 합니다. 그 이유는 Y12 연말 시험에서 받은 성적과 prediction으로 지원 가능한 대학의 폭이 상당 부분 결정되기 때문입니다. (따라서 Y12 연말 시험 성적이 만족스럽지 않은 경우에는 Y13을 시작할 무렵, 학교에서 재시험의 기회를 주기도 합니다.)

 

이때 받는 성적이 희망 학교/학과에 비해 부족한 경우 이 시기에 이미 gap year를 결정하는 학생들도 적지 않습니다. 따라서 Y12를 ‘아직 1년 남은 시기’가 아니라 ‘목표하는 prediction을 달성하는 시기’라고 생각하는 편이 좋습니다. 이와 같은 입시 절차를 알고 나면 A-level 2년 중 어느 시기 하나 소홀히 할 수가 없습니다.

 

이스터 방학부터는 차츰 아는 내용을 정리하고 기출문제(past papers)를 시도하는 단계입니다. 그런데 막상 기출문제를 다루려고 하면 이해가 안 된 부분들이 눈에 띄기 시작합니다.

 

A-level은 전부 서술형 문제로 출제되기 때문에 이해의 갭이 있을 때 그걸 건너뛰기가 어렵고, 그 부분이 반복해서 발목을 잡는 경향을 보입니다. 그러면 우선 이해를 채워야겠다는 생각에 책으로 돌아가기 마련입니다. 얼마 지나지 않아 시간이 얼마 없다는 생각이 머리를 스치면 다시 급한 마음에 기출문제로 돌아갑니다. 이때 앞서 책으로 돌아간 문제가 해결되지 않은 경우에는 그 문제가 다시 반복이 됩니다. 그렇게 책과 기출문제 사이를 오가며 방향을 잡지 못하는 경우를 많이 보게 됩니다.

 

이때 이해의 갭 정도에 따라, 또 학생의 성향에 따라 처방은 다양하겠지만, 스스로 기출문제만 풀기에는 내용에 대한 이해가 부족하다고 느끼는 경우라면 과감하게 책으로 돌아가서 기본부터 다지고 기출문제를 봐도 늦지 않다고 말해주고 싶습니다. (이전 포스팅 'A-level 수학 공부팁 1'에서도 교과서 공부를 많이 강조했었지요~) 잠시 돌아가는 듯 느껴질 수 있지만 결코 시간 낭비가 아니고, 어쩌면 가장 빠른 길일 가능성이 큽니다. 오히려 갈피를 잡지 못하고 이것 저것 시도하다가 시간을 낭비하기가 쉽습니다.

 

또, 이해하지 못한 게 있다고 스스로 느낀다면 그 느낌은 99% 맞을 겁니다. 스스로 모르는 게 없다고 생각해도 막상 기출문제를 풀면 ‘아, 이런 게 있었지’ 할 때가 있는데, 모르는 게 있다고 느낀다면 그 부분은 확인하고 넘어가는 게 좋습니다.

 

실제로 공부를 해보면 마지막엔 시간과의 싸움이 남는 경우가 많습니다. 그리고 ‘아, 일주일만 더 있었다면’, ‘며칠만 더 있었다면’ 이런 생각을 하게 됩니다. 그렇다면 해결책은 조금 일찍 시작하는 것입니다.

 

이렇게 당연한 게 실제로는 실천하기가 힘듭니다. 왜냐하면 발등에 불이 떨어지기 전에는 그래야 하는 이유가 피부에 와닿지 않기 때문입니다. 따라서 일찍 시작하기 위해서는 내가 모르는 게 얼마나 있는지에 대한 점검이 그만큼 일찍 이루어져야 합니다. (개인적으로 2학기 초반부터 2학기 하프텀까지가 가장 적기라고 봅니다.) 그러고 나면 그 내용들을 채우고 시험 준비를 하는데 어느 정도의 시간이 걸릴지 감이 오고, 그렇게 자연스레 일찍 시작을 하게 됩니다. 차라리 일찍 시작해서 나중에 시간이 남으면 그때 놀아도 된다는 생각이 들면 1차 과제 성공입니다.

 

12학년 3학기

 

A-level 시험은 5-6주에 걸쳐 진행되고 12학년 학교 시험이라고 해도 2-3주에 걸쳐 진행되는 것이 일반적입니다.

 

이때는 내가 복습 계획을 주도한다기 보다는 시험 일정이 나의 복습을 주도한다고 볼 수 있습니다. 일단 첫 시험이 시작되고 나면, 그 다음 시험 과목에 집중, 또 그 다음 시험 과목에 집중하는 일정의 연속이기 때문입니다.

 

따라서 ‘이해의 부족함을 채우는 학습(learning)’은 이스터 방학이 끝날 무렵에는 어느 정도 마무리가 되어야 합니다. 그래야 이스터 방학이 끝나면서 학습(learning)이 아닌 복습(revision)을 시작할 수 있습니다.

 

시험 기간에 임박해서야 학습(learning)이 이뤄지면, 물론 하지 않는 것보다는 낫지만 그 지식이 내 것이 되어 서술형 문제에 적용하는데 필요한 연습까지 해내기에는 시간적 압박이 큽니다.

 

그래서 크리티컬 타임은 12학년 2학기 초중반

 

학생마다 상황이 다르기 때문에 개별적 상황 진단이 필요하겠지만, 이스터 방학 또는 그 후에 들어오는 상담들을 떠올려보면 대개 ‘내용 이해’와 함께 ‘시간과의 싸움’까지 더해지는 경우가 많아서 결국 내용 전체를 다루지 못하고 몇몇 토픽은 양보하는 전략을 택하게 되곤 합니다. 이 가능성을 미리 생각하고 대비하기 위해서는 2학기부터는 내용 점검이 이루어져야 합니다.

 

겨울방학을 마치고 2학기를 시작할 무렵, 학교에서는 대개 1학기 때 배운 내용을 확인하기 위해 시험을 칩니다. 이때 시험 결과를 통해 부족한 내용을 확인하고, 남은 2학기와 이스터 방학까지의 계획을 세워둘 필요가 있습니다.

 

[이 문단은 간접광고를 포함합니다.] 특히 도움이 필요하다고 생각하는 경우에는 학원이든 과외든 인강이든 늦어도 2학기 하프텀에는 시작하기를 권합니다. 그래야 1학기 때 배운 내용 중 이해하지 못한 채 넘어갔던 부분까지도 충분히 살펴볼 수 있습니다. 개인적인 경험으로 이스터 때 시작을 하면 시간이 부족한 경우가 많습니다. 차라리 일찍 시작을 해서 나중에 시간이 남으면 그때 여유있는 리비젼 타임을 갖는 게 낫습니다. 물론 몇몇 토픽만 이해가 부족한 경우라면 모르지만, 만약 지금 배우는 내용이 어렵다고 느낀다면 대개 몇몇 특정 부분을 몰라서라기 보다는 앞에서부터 모르는 내용이 하나 둘 쌓이고 쌓였다가 지금에 와서 겉으로 드러나고 있을 가능성이 큽니다. 이럴 때는 처음부터 빌드업을 다시 해야 하는 경우가 많기 때문에 시간 계획을 넉넉하게 해두어야 합니다.

 

그럼에도 불구하고 1학기 때부터 수업을 권하지 않고 2학기부터 권하는 이유는, 우선 이러한 점검이 스스로 이뤄져야 하기 때문입니다. 그리고 이러한 자각은 대개 2학기 시험을 통해 많이 이루어집니다. (물론 스스로 하고자 하는 동기가 있을 때는 언제 시작해도 효과가 있고, 이르면 이를수록 좋은 점이 있습니다. 그러나 이러한 자각이 있기 전 특히 부모님의 막연한 불안감 때문에 수업을 하게 되면 그 효과가 그리 크지 않습니다.)

 

12학년 여름방학

 

이후 12학년말 시험 성적이 만족스럽지 못한 경우에는 13학년을 시작할 때 prediction 재시험의 기회가 주어질 것입니다. 만약 재시험을 치게 되면, 대략 10주에 걸친 여름방학 기간이 절호의 기회입니다.

 

우선 내가 부족한 부분이 어디인지를 점검해야 하는데, 이미 12학년을 마친 시기이기 때문에 교과서 각 챕터 끝에 있는 mixed exercise나 review exercise 등을 통해 복습이 필요한 부분부터 리스트를 만드는 것이 좋습니다. 만약 챕터 10개에 대한 복습이 필요하면 1주일 평균 1챕터를 공부하는 방식으로 복습을 해나가면 되고, 챕터 15개에 대한 복습이 필요하면 1주일 평균 1.5챕터를 공부하는 방식으로 복습해나가면 됩니다.

 

13학년

 

13학년은 대학 지원과 함께 A-level 최종 시험을 염두에 두고 공부하는 시기입니다. 12학년 여름방학이나 13학년이 되면 내가 부족한 부분에 대한 점검이 충분히 이뤄진 단계일 것입니다. 이때부터는 매학기, 매방학, 매분기가 크리티컬 타임이므로 위에 언급한 요령들을 그대로 적용할 수 있습니다.

 

UCAS 지원서를 내는 시기나 면접(interview) 시기가 되면 학교 공부를 놓치게 되는 경우가 있는데, 학교 공부에 충실한 것이 가장 좋은 면접 준비입니다. 면접이라고 해서 학생이 새로운 이론을 만들 것을 기대하지 않습니다. 예전 케임브리지 교수님 중 한 분이 '면접에서 무엇을 보는가'에 대해 '우리는 학생이 teachable한가를 본다'고 대답했던 기억이 납니다. 면접은 학교 공부를 잘 따라가고 있는지에서 출발해서, 생각하는 힘이 있는지, 또 주어지는 힌트와 함께 자신의 생각을 확장할 수 있는지를 확인하는 과정입니다.

 

그외 시기별로 챙겨야 하는 부분은 다른 포스팅에서 다루도록 하겠습니다.