Cambridge Maths Academy

Question. 다음 적분을 구하라. $$ \begin{align} {\rm (a)}&& &\int\frac{1}{\sqrt{1-3x^2}}\,dx \\ {\rm (b)}&& &\int\frac{x}{4x^2+8x+13}\,dx \\ {\rm (c)}&& &\int_0^1\arcsin x\,dx \end{align} $$ Solution. (a) 치환적분(Integration by substitution)을 사용하여 $$ \begin{align} x&=\frac1{\sqrt{3}}\sin u \\ \Rightarrow\quad dx&=\frac1{\sqrt{3}}\cos u\,du \\ \end{align}$$ 다음과 같이 적분할 수 있다. $$ \begin{align} I_1 &=\int\frac{1..

Question. 다음에서 $\frac{dy}{dx}$를 구하라. (a) $y=\arcsin(1-2x)$ (b) $y=\arctan\left(x^2+1\right)$ Solution. (a) 역함수는 1:1 대응일 때만 존재하기 때문에 정의역과 치역을 구해두는 것이 도움이 된다. 함수 $y=\arcsin(1-2x)$의 정의역과 치역은 다음과 같다. $$ \begin{gather} -1\le 1-2x \le 1 \\ -\frac{\pi}{2}\le y \le\frac{\pi}{2} \end{gather} $$ 양변에 $\sin$을 취해 정리하면, $$ \begin{align} y&=\arcsin(1-2x) \\ \Rightarrow\quad 1-2x&=\sin y. \end{align} $$ 다음과 같이 ..