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0의 개념은 오랜 기간에 걸쳐 형성되었다. 0의 두 가지 기능 0에는 '숫자로서의 0'과 '자리지킴이로서의 0' 이렇게 두 가지 기능이 있다. 숫자로서의 0은 말 그대로 없음(無, empty)의 0이다. 가령, 탁자 위에 사과가 한 개 있다고 가정해보자. 그 사과를 먹고 나면 남은 사과의 갯수는 0이다. 이것이 없음의 0, 숫자로서의 0이다. '자리지킴이로서의 0'을 이해하기 위해 이번에는 탁자 위에 사과 스무 개가 있다고 가정해보자. 이를 숫자로 20이라고 나타내는데, 여기서 0은 숫자 2가 일의 자리가 아닌 십의 자리에 있음을 나타내기 위해 사용된다. 즉, 일의 자리가 비었음을 표시하기 위해 사용되는 자리지킴이로서의 0이다. 이런 0은 자리를 차지한다하여 placeholder 또는 placekeepe..

We have: $$ \begin{align} 1^1&=1 &&& 0^1&=0 \\ 1^0&=1 &&& 0^0&=1 \end{align} $$ Are you surprised by $0^0=1$? Proof. To prove this, we consider $$ \begin{align} y=x^x \end{align} $$ and take the limit $x\rightarrow0$. It is not straightforward to do this directly with $x^x$ so we take the (natural or any) logarithm on both sides: $$ \begin{align} \ln y=\ln x^x=x\ln x \end{align} $$ Let $x=e^{-n}..