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  • A classification of critical points with the Hessian matrix 수학 모음 (Maths collection) 전체보기 For a function which depends on two variables $(x,y)$, $$ \textrm f = \textrm f(x,y) $$ we find the critical points by considering 2-dimensional gradient and second-order derivatives. (In 1D, the critical points are usually called the stationary points.) (i) Critical points: $$ \begin{align} \nabla \textrm f = \left( \frac{ \partial \textrm f }{ \partial x }, \frac{.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 4. 11.
  • Integration of a product of an exponential and a trigonometric/hyperbolic function 수학 모음 (Maths collection) 전체보기 This post has been partly motivated by P2 §11.6 Integration by parts CP2 §6.5 Integrating hyperbolic functions CP2 §7.1 First-order differential equations (obtaining the particular integrals using the integrating factor) Question. Derive the following results. $$ \begin{align} \textrm{(a)} &&& I_1(a,b) = \int \textrm e^{ ax } \cos b x \, \textrm dx = \frac{ \textrm .. 공감수 0 댓글수 0 2022. 3. 8.
  • A first-order differential equation with complex coefficients 수학 모음 (Maths collection) 전체보기 This little investigation has been motivated by Exercise 7B, Challenge in CP2 §7.2 Second-order homogeneous differential equations. Question 1. What happens with a first-order differential equation with complex constant coefficients? $$ \begin{align} (a_1 + ia_2) \frac{ \textrm{d} y }{ \textrm{d}x } + (b_1 + ib_2) y &= 0 \end{align} $$ Method 1. Using matrix notatio.. 공감수 0 댓글수 0 2022. 3. 5.
  • 16. Integration of powers of the sine function (Wallis integral) 수학 모음 (Maths collection) 전체보기 Question. Let $$ \begin{align} I_n = \int \sin^n(ax) \, \textrm{d}x \end{align} $$ (a) Show that $$ \begin{align} I_n = -\frac1{an} \sin^{n-1}(ax) \cos(ax) + \frac{n-1}{n}I_{n-2} \end{align} $$ Let $$ \begin{align} J_n = \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^nx \, \textrm{d}x \end{align} $$ (b) Hence, or otherwise, show that $$ \begin{align} J_n = \frac{n-1}{n}J_{n-2} \end{al.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 12. 9.
  • 15. Integration of the square-root of cot x 수학 모음 (Maths collection) 전체보기 Consider $$ \begin{align} J = \int \sqrt{ \cot x }\, \textrm{d}x \quad \textrm{for} \quad 0 < x \le \frac{\pi}{2} \end{align} $$ (a) Method 1. By using the substitution $u = \sqrt{ \cot x }$, followed by partial fractions, we can show that $$ \begin{align} J &= \frac1{2\sqrt{2}} \ln \left\vert \frac{1 + \sqrt{2 \cot x} + \cot x}{1 - \sqrt{2 \cot x} + \cot x} \right\.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 11. 24.
  • 14. Integration of the square-root of tan x 수학 모음 (Maths collection) 전체보기 Consider $$ \begin{align} I = \int \sqrt{\tan x}\,\textrm{d}x \quad \textrm{for} \quad 0 \le x < \frac{\pi}{2} \end{align} $$ (a) Method 1. By using the substitution $u = \sqrt{ \tan x }$, followed by partial fractions, we can show that $$ \begin{align} I &= \frac1{2\sqrt{2}} \ln \left\vert \frac{ \tan x - \sqrt{2 \tan x} + 1 }{ \tan x + \sqrt{2 \tan x} + 1 } \right.. 공감수 0 댓글수 0 2021. 11. 23.
  • 5. 쌍곡코시컨트(csch x)의 적분법 | Integration of csch x 수학 모음 (Maths collection) 전체보기 1. $u={\rm csch}\,x+\coth x$ 치환적분 $$ \int{\rm csch}\,x\,\textrm{d}x=-\ln\vert{\rm csch}\,x+\coth x\vert+c $$ 첫 번째 시도로 코시컨트의 적분에서처럼 자연로그를 시도할 수 있다. 쌍곡시컨트(sech)와 달리 쌍곡코시컨트는 삼각함수와 쌍곡선함수의 도함수에 마이너스 차이가 없기 때문에 자연로그 적분이 가능하다는 것을 알게 된다. 우리에게 필요한 도함수들은 다음과 같다. $$ \begin{align} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\csc x&=-\csc x\cot x & \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}{\rm csch}\,x&.. 공감수 0 댓글수 0 2020. 6. 7.
  • 4. 쌍곡시컨트(sech x)의 적분법 | Integration of sech x 수학 모음 (Maths collection) 전체보기 0. $\int{\rm sech}\,x\,\textrm{d}x=\ln\vert{\rm sech}\,x+\tanh x\vert+c\,$? 첫 번째 시도로 시컨트의 적분에서처럼 자연로그를 시도할 수 있다. 그러나 삼각함수와 쌍곡선함수의 도함수에서 마이너스 차이로 인해 가능하지 않다는 것을 알게 된다. 이 차이점을 아는 것도 중요하므로 이 부분부터 살펴보자. 우리에게 필요한 도함수들은 다음과 같다. $$ \begin{align} \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\tan x&=\sec^2x & \frac{\textrm{d}}{\textrm{d}x}\tanh x&={\rm sech}^2x \\ \frac{\textrm{d}}{\textrm.. 공감수 0 댓글수 0 2020. 6. 7.
  • 3. 코시컨트/코세칸트(cosec x, csc x)의 적분법 | Integration of cosec x 코시컨트의 적분은 시컨트와 매우 유사하다. (시컨트 적분의 역사적 배경은 이곳 참조.) 이 글에서는 코시컨트/코세칸트의 적분을 4가지 방법으로 유도해보자. $$ \begin{align} \int \csc x \, \textrm{d}x &= - \ln \vert \csc x + \cot x \vert + c \\ &= \frac12 \ln \left\vert \frac{1-\cos x}{1+\cos x}\right\vert + c \\ &= \ln \left\vert \tan \frac{\pi}{2}\right\vert + c \end{align} $$ 1. $u=\csc x+\cot x$ 치환적분 $$ \int\csc x\,\textrm{d}x=-\ln\vert\csc x+\cot x\vert+c $$ .. 공감수 1 댓글수 0 2020. 6. 7.
  • 2. 시컨트/세칸트(sec x)의 적분법 | Integration of sec x 수학 모음 (Maths collection) 전체보기 0. 역사적 배경 시컨트/세칸트 함수 적분의 역사는 16세기 말~17세기 초, 항해(sea navigation)와 그에 필요한 지도 제작 시기로 거슬러 올라간다. 1569년 벨기에 지도학자/지도작성자(cartographer) 제라두스 메르카토르(Gerardus Mercator, 1512-1594)에 의해 오늘날 '메르카토르 투영법(Mercator projection)'이라고 부르는 지도 작성법이 소개되고, 보다 정확한 계산을 위해 세칸트 함수의 적분법이 필요하게 되었다. (보다 자세한 내용은 논문 참조: History of the Integral of Secant) 1599년 메르카토르 투영법을 염두에 둔 영국 수학자 에드워드 라이트(Edward Wr.. 공감수 3 댓글수 0 2020. 6. 6.
  • 1. History of the Integral of the Secant (sec x) 수학 모음 (Maths collection) 전체보기 Journal: Mathematics Magazine, volume 53, number 3, May 1980, pages 162–166 Title: An Application of Geography to Mathematics: History of the Integal of the Secant Authors: V. Frederick Rickey (Bowling Green State University, Bowling Green, OH 43403), Philip M. Tuchinsky (Ford Motor Company, Engineering Computing Center, Dearborn, M1 48121) Every student of the inte.. 공감수 0 댓글수 0 2020. 6. 6.
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